[논문 리뷰] Strong convergence of the tamed and the semi-tamed Euler schemes for stochastic differential equations with jumps under non-global Lipschitz condition

Antoine Tambue, Jean Daniel Mukam|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비글로벌 리프시츠 조건 하에서 점프를 포함한 확률적 미분 방정식에 대해 α ∈ [1/2, 1]일 때 표준 순서 1/2로 강수렴성을 보장하는 양성화되고 반-양성화된 오일러 스킴을 제안한다. 두 스킴에 대해 선형 및 지수 안정성을 확립하여, 특히 α가 1에 가까워질수록 뛰어난 안정성 성능을 보이며, 수치 시뮬레이션을 통해 반-양성화 스킴이 양성화 및 보정된 양성화 변형보다 우수한 성능을 보임을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the explicit numerical approximations of stochastic differential equations (SDEs) driven by Brownian process and Poisson jump. It is well known that under non-global Lipschitz condition, Euler Explicit method fails to converge strongly to the exact solution of such SDEs without jumps, while implicit Euler method converges but requires much computational efforts. We investigate the strong convergence, the linear and nonlinear exponential stabilities of tamed Euler and semi-tamed methods for stochastic differential equation driven by Brownian process and Poisson jumps, both in compensated and non compensated forms. We prove that under non-global Lipschitz condition and superlinearly growing drift term, these schemes converge strongly with the standard one-half order. Numerical simulations to substain the theoretical results are provided.

연구 동기 및 목표

• 초선형 드리프트를 가진 SDE의 정확한 해로의 강수렴을 보장하지 못하는 표준 오일러-마루야마 방법의 실패를 해결하기 위해.
• 브라운 운동과 포아송 점프를 동시에 포함하는 SDE에 대해, 보상된 및 비보상된 형태를 포함한 양성화 및 반-양성화 오일러 스킴을 확장하기 위해.
• α ∈ [0,1]에 대해 선형 및 지수 평균제곱 안정성의 엄밀한 분석을 수행하며, α가 1에 가까워질수록 향상된 안정성에 초점을 맞추기 위해.
• 이론적 결과를 수치 시뮬레이션을 통해 검증하여, 다양한 스킴과 파라미터 설정에서 수렴성과 안정성의 비교를 수행하기 위해.

제안 방법

• 초선형 성장의 제어를 위해 드리프트 항의 분모에 α ∈ [1/2, 1]인 양성화 파라미터를 포함한 양성화 오일러 스킴을 도입한다.
• u가 글로벌 리프시츠이고 v가 비글로벌 리프시츠인 f = u + v의 분해를 적용하여 반-양성화 스킴을 구성한다.
• 점프 성분의 분석에서 마틴갈 성질을 보장하기 위해 보상된 포아송 과정을 적용한다.
• 일면 리프시츠 조건과 다항식 성장 조건 하에서 강수렴성을 입증하기 위해 이토의 공식, 모멘트 추정 및 그론발르 유형 부등식을 활용한다.
• 시간 간격 Δt와 파라미터 α에 대한 조건을 유도하여 선형 및 지수 평균제곱 안정성을 분석한다.
• 정확한 해의 참조 솔루션을 Δt = 2−16에서 얻고, 5000–7000개의 샘플 경로를 사용하여 수렴성과 안정성을 검증하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α ∈ [1/2, 1]일 때 비글로벌 리프시츠 조건 하에서 점프를 포함한 SDE에 대해 양성화 및 반-양성화 오일러 스킴이 강수렴성을 1/2 순서로 확보할 수 있는가?
• RQ2 양성화 및 반-양성화 스킴이 동일한 조건 하에서 정확한 해의 선형 및 지수 평균제곱 안정성을 유지하는가?
• RQ3 α ∈ [1/2, 1]의 선택이 α ∈ (0, 1/2]에 비해 스킴의 안정성 및 수렴 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 반-양성화 스킴이 양성화 및 보정된 양성화 스킴에 비해 안정성 및 수렴성 측면에서 더 뛰어난 성능을 보이는가?
• RQ5 α가 1에 가까워질수록 양성화 및 보정된 양성화 스킴의 안정성 특성은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 비글로벌 리프시츠 조건과 초선형 드리프트 성장 하에서, α ∈ [1/2, 1]일지라도 양성화 및 반-양성화 오일러 스킴이 강수렴성 1/2 순서를 확보하며, 이는 이전 결과가 α ∈ (0, 1/2]로 국한되었던 것을 확장한다.
• 수치 실험에서 반-양성화 스킴이 양성화 및 보정된 양성화 스킴에 비해 뛰어난 안정성 및 수렴 성능을 보인다.
• α가 1에 가까워질수록 양성화 및 보정된 양성화 스킴은 향상된 안정성을 보이며, 반-양성화 스킴의 행동에 가까워진다.
• 선형 SDE의 경우 반-양성화 스킴은 Δt < 0.048(사례 I) 및 Δt < 0.0245(사례 II)일 때 선형 평균제곱 안정성을 유지하며, 이는 이론적 예측과 일치한다.
• 비선형 SDE의 경우 반-양성화 스킴은 Δt < 0.22일 때 지수 평균제곱 안정성을 재현하며, 이는 이론적 한계와 일치한다.
• 수치 결과는 양성화 및 보정된 양성화 스킴이 이전 연구에서 α ∈ (0, 1/2]를 사용한 경우보다 더 뛰어난 안정성 특성을 보이며, 특히 α → 1일 때 더욱 두드러진다.