[논문 리뷰] Strong convergence rate for two classes of implementable methods for SDEs driven by fractional Brownian motions

Jialin Hong, Chuying Huang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 08.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 다차원 분수 Browian 운동(fBm)에 의해 구동되는 SDE에 대해 적용 가능한 Runge--Kutta 및 단순화된 단계-N 오일러 방법에 대해 히어스트 매개수 H ∈ (1/2, 1)일 때 강한 수렴 속도 2H − 1/2를 확립한다. 분석은 순서 조건과 호일더 반노름에서의 연속적 의존성에 기반하며, Deya(2012)의 추측을 H > 1/2에 대해 해결한다.

ABSTRACT

We investigate the strong convergence rate of both Runge--Kutta methods and simplified step-$N$ Euler schemes for stochastic differential equations driven by multi-dimensional fractional Brownian motions with $H\in(\frac12,1)$. These two classes of numerical schemes are implementable in the sense that the required information from the driving noises are only their increments. We prove the solvability of implicit Runge--Kutta methods and the continuous dependence of their continuous versions with respect to the driving noises in H\older semi-norm. Based on these results, the order conditions are proposed for the strong convergence rate $2H-\frac12$, which is caused by the approximation of the L\'evy area type processes. We get the same strong convergence rate for simplified step-$N$ Euler schemes by comparing them with an explicit Runge--Kutta method. This gives an answer to the conjecture in \cite{Deya} for $H\in(\frac12,1)$.

연구 동기 및 목표

• 분수 Browian 운동(fBm)에 의해 구동되는 SDE에 대해 H ∈ (1/2, 1)일 때 구현 가능한 수치적 방법의 강한 수렴 속도를 확립하는 것.
• 구동 노이즈의 증분만을 요구함으로써 구현 가능한 방법의 부족을 해결하는 것.
• Deya(2012)에서 제기한 H > 1/2에 대한 수렴 속도에 관한 추측을 해결하는 것.
• 암시적 Runge--Kutta 방법의 해의 존재성과 호일더 반노름에서의 연속적 의존성을 증명하는 것.

제안 방법

• 강한 수렴 속도 2H − 1/2를 달성하기 위해 특화된 순서 조건을 제안하며, 이는 레비 면적 유사 과정의 근사에서 기인한다.
• 암시적 Runge--Kutta 방법의 연속적 버전이 구동 노이즈에 대해 호일더 반노름에서 연속적으로 의존함을 분석한다.
• 분수 Browian 운동의 증분만을 사용하여 구현 가능한 단순화된 단계-N 오일러 방법을 구성한다.
• 단순화된 단계-N 오일러 방법과 명시적 Runge--Kutta 방법을 비교하여 동일한 수렴 속도를 도출한다.
• 호일더 반노름 프레임워크를 사용하여 구동 노이즈의 변형에 대한 안정성과 수렴성을 보장한다.
• 호일더 공간에서 고정점 추론을 통해 암시적 Runge--Kutta 방법의 해의 존재성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H ∈ (1/2, 1)인 fBm에 의해 구동되는 SDE에 대해 구현 가능한 수치적 방법이 달성할 수 있는 최적의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 암시적 Runge--Kutta 방법이 호일더 반노름 프레임워크에서 해의 존재성과 구동 노이즈에 대한 연속적 의존성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 단순화된 단계-N 오일러 방법이 동일한 조건에서 명시적 Runge--Kutta 방법과 동일한 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 Deya(2012)에서 제기한 바와 같이, 수렴 속도 2H − 1/2는 구현 가능한 방법에 의해 달성 가능한가?
• RQ5 순서 조건은 fBm에 의해 구동되는 SDE의 맥락에서 레비 면적 유사 과정의 근사와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 암시적 Runge--Kutta 방법과 단순화된 단계-N 오일러 방법 양쪽 모두 강한 수렴 속도 2H − 1/2를 달성한다.
• 레비 면적 유사 과정의 근사와 직접적으로 연결된 강한 수렴 속도 2H − 1/2를 확보하기 위해 순서 조건이 도출된다.
• 암시적 Runge--Kutta 방법이 호일더 반노름에서 해의 존재성과 구동 노이즈에 대한 연속적 의존성을 증명한다.
• 단순화된 단계-N 오일러 방법이 명시적 Runge--Kutta 방법과 동일한 수렴 속도를 달성함을 입증한다.
• Deya(2012)에서 제기한 H ∈ (1/2, 1)에 대한 수렴 속도 추측이 구현 가능한 방법에 대해 확인된다.
• 분수 Browian 운동의 증분만으로도 구현이 가능함을 분석을 통해 확인하여 실용적 타당성을 보장한다.