[논문 리뷰] Strong convergence rate in averaging principle for stochastic hyperbolic-parabolic equations with two time-scales

Hongbo Fu, Li Wan외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 28.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 시간 스케일을 가진 확률적 타원-방산 방정식에서 다중성 소음에 의해 구동되는 느린 성분과 빠른 성분이 모두 존재하는 평균화 원리에 대해 $1/2$ 순서의 강력한 수렴 속도를 확립한다. 빠른 성분의 불변 측도와 에르고딕성 분석을 통해 저자들은 단순화된 평균화된 방정식을 유도하고, 에너지 추정과 그론월드 유형 부등식을 통해 최적의 수렴 속도를 증명한다. 이는 이전의 $1/4$ 속도에 비해 크게 향상된 결과이다.

ABSTRACT

In this article, we investigate averaging principle for stochastic hyperbolic-parabolic equations with two time-scales, in which both the slow and fast components are perturbed by multiplicative noises. Particularly, we prove that the rate of strong convergence for the slow component to the averaged dynamics is of order $1/2$, which significantly improves the order $1/4$ established in our previous work.

연구 동기 및 목표

• 두 시간 스케일을 가진 확률적 타원-방산 시스템에서 느린 성분이 평균화된 역학으로 수렴하는 강력한 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 특히 무한차원 설정에서 다중성 소음이 있는 SPDE에 대한 수렴 속도 격차를 해결하기 위해.
• 적절한 에르고딕성과 정칙 조건 하에서 이전의 $1/4$ 수렴 속도를 넘어 최적의 $1/2$ 속도를 증명함으로써 이를 향상시키기 위해.
• 느린 성분과 빠른 성분 양쪽 모두에 다중성 소음이 작용할 때 그 상호작용과 평균화 역학에 미치는 영향을 분석하기 위해.

제안 방법

• 두 시간 스케일을 가진 확률적 타원 방정식과 파라볼릭 방정식의 결합 시스템을 설정하며, 다중성 소음에 의해 구동된다.
• 평균화 원리를 사용하여 빠른 성분을 통합함으로써 느린 성분에 대한 단순화된 효과적 방정식을 유도한다.
• 끌림 및 확산 계수에 대한 적절한 조건 하에서 빠른 성분의 불변 측도 존재성과 에르고딕성을 확립한다.
• 에너지 추정과 그론월드 유형 부등식을 적용하여 원래 시스템과 평균화된 시스템 간의 차이를 제어한다.
• 느린 변수의 변화에 대한 빠른 성분의 반응에 대한 섭동 분석을 통해 평균화된 끌림의 도함수에 대한 유계를 도출한다.
• 지수 감쇠 추정과 확률적 미적분을 활용하여 강한 의미에서 $1/2$ 수렴 속도를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 시간 스케일을 가진 확률적 타원-방산 시스템에서 다중성 소음이 존재할 경우 느린 성분의 최적 강력 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 느린 성분과 빠른 성분이 모두 다중성 소음에 의해 영향을 받을 경우, 수렴 속도를 $1/4$ 에서 $1/2$ 로 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 빠른 성분의 에르고딕성과 불변 측도가 느린 성분의 평균화 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다중성 소음 구조가 평균화 원리의 수렴 속도를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비가산 소음이 있는 무한차원 SPDE에서 수렴 속도를 확립할 수 있으며, 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?

주요 결과

• 느린 성분이 평균화된 역학으로 수렴하는 강력한 수렴 속도가 $1/2$ 순서로 증명되었으며, 이는 최적의 결과이며 이전의 $1/4$ 속도에 비해 크게 향상된 것이다.
• 이론적으로 수렴 속도는 느린 성분과 빠른 성분이 모두 다중성 소음에 의해 영향을 받는 설정에서도 유지되며, 일반적으로 속도가 저하되는 상황임에도 불구하고 성립한다.
• 증명은 평균화된 끌림의 도함수에 대한 지수 감쇠 성질을 증명함으로써 이루어지며, 이는 빠른 성분에 대해 일관되게 유지된다.
• 저자들은 평균화된 끌림과 그 도함수 간의 차이에 대한 균일한 유계를 도출하였으며, $\|\tilde{F}_{t_0}(x_1,y,t) - \tilde{F}_{t_0}(x_2,y,t)\| \leq C(1+\|y\|)\|x_1 - x_2\|e^{-ct}$ 를 보였다.
• 수렴 결과는 빠른 성분의 에르고딕성과 유일한 불변 측도 존재 조건을 만족할 경우 성립한다.
• 분석을 통해 $1/2$ 수렴 속도가 무한차원 SPDE에서도 달성 가능하며, 이는 분야 내에서 열려 있던 질문에 대한 답을 제시한다.