[논문 리뷰] Strong convergence rate of a full discretization for stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise

Jianbo Cui, Jialin Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 15.

Stochastic processes and financial applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 백색 잡음이 있는 확률적 Cahn--Hilliard 방정식에 대해 공간 스펙트럴 갈레르킨과 시간 축속화된 암시적 오일러 방법을 조합한 완전 이산화 방법을 제안한다. 음의 소볼레프 공간에서 최적의 강한 수렴 속도를 확립하였으며, 정확한 공간 수렴 속도와 시간 초수렴 속도를 확보하였다. 이는 공간-시간 백색 잡음 하에서 이 방정식에 대해 처음으로 이루어진 결과이다.

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. We discretize this equation by using a spatial spectral Galerkin method and a temporal accelerated implicit Euler method. The optimal regularity properties and uniform moment bounds of the exact and numerical solutions are shown. Then we prove that the proposed numerical method is strongly convergent with the sharp convergence rate in a negative Sobolev space. By using an interpolation approach, we deduce the spatial optimal convergence rate and the temporal super-convergence rate of the proposed numerical method in strong convergence sense. To the best of our knowledge, this is the first result on the strong convergence rates of numerical methods for the stochastic Cahn--Hilliard equation driven by space-time white noise. This interpolation approach is also applied to the general noise and high dimension cases, and strong convergence rate results of the proposed scheme are given.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 확률적 Cahn--Hilliard 방정식에 적용된 수치적 방법에 대한 강한 수렴 속도 결과의 부족을 보완하기 위해.
• 정확한 해와 수치적 해 양측에 대해 최적의 정규성 및 균일한 모멘트 유계성을 확립하기 위해.
• 제안된 완전 이산화에 대해 음의 소볼레프 공간에서 날카운 강한 수렴 속도를 유도하기 위해.
• 보간 기반 접근을 통해 일반적인 잡음과 고차원 경우로 수렴 분석을 확장하기 위해.
• 강한 수렴 기준에서 공간 최적 수렴과 시간 초수렴을 입증하기 위해.

제안 방법

• 확률적 Cahn--Hilliard 방정식의 공간 성분을 근사하기 위해 공간 스펙트럴 갈레르킨 방법을 사용한다.
• 시간 진화를 이산화하기 위해 시간 축속화된 암시적 오일러 방법을 적용하여 안정성과 수렴성을 확보한다.
• 정규성 추정과 강한 노름에서의 수렴 속도 유도를 위해 보간 기법을 적용한다.
• 이론적 분석을 통해 정확한 해와 수치적 해 양측에 대해 최적의 정규성 특성과 균일한 모멘트 유계성을 확립한다.
• 동일한 보간 프레임워크를 통해 동일한 방법을 일반적인 다중성 잡음과 고차원 공간으로 확장한다.
• 공간-시간 백색 잡음에 의해 발생하는 거친 성질을 다루기 위해 음의 소볼레프 공간에서 수렴 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 백색 잡음이 있는 확률적 Cahn--Hilliard 방정식에 대한 완전 이산화 방법의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 이 방정식에 대해 강한 수렴 기준에서 최적의 공간 수렴과 시간 초수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법 하에서 정확한 해와 수치적 해의 정규성 및 모멘트 유계성은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 보간 접근법은 임의의 잡음 구조와 고차원 케이스로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 이 문제에 대해 음의 소볼레프 공간에서 수렴 속도의 날카움은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 수치적 방법은 공간-시간 백색 잡음이 있는 확률적 Cahn--Hilliard 방정식에 대해 음의 소볼레프 공간에서 날카운 강한 수렴 속도를 달성한다.
• 보간 기반 접근을 통해 최적의 공간 수렴 속도가 도출되었으며, 이는 방법의 공간 정확도를 확인한다.
• 시간 초수렴이 입증되었으며, 이는 표준 방법보다 더 빠른 시간 수렴을 의미한다.
• 정확한 해와 수치적 해 양측에 대해 균일한 모멘트 유계성과 최적의 정규성 특성이 증명되었다.
• 보간 기반 분석은 일반적인 잡음과 고차원 설정으로 성공적으로 확장되었으며, 강한 수렴 결과를 도출하였다.
• 본 연구는 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 확률적 Cahn--Hilliard 방정식에 적용된 수치적 방법에 대해 첫 번째 강한 수렴 속도 결과를 제시한다.