[논문 리뷰] Strong convergence rates and temporal regularity for Cox-Ingersoll-Ross processes and Bessel processes with accessible boundaries

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 경계가 접근 가능할 경우 코ックス-인거솔-로스(Cox-Ingersoll-Ross, CIR) 및 베셀(Bessel) 과정의 드리프트-암시적 루트-오일러 근사에 대해 양의 강한 수렴 속도를 확립한다. 이는 헤스턴 모델 시뮬레이션에 핵심적이다. 주요 기여는 경계가 접근 가능하고 $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ 인 조건 하에서 $ p \in (0,\infty) $ 에 대해 $ L^p $-강한 수렴 속도 $ \varepsilon - \frac{(2\delta/\beta^2)\wedge 1 - 1/2}{p\vee 1} $ 를 증명하는 것이다. 이는 베셀 과정의 시간적 $ \frac{1}{2} $-홀더 연속성에 기반한다.

ABSTRACT

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes are widely used in financial modeling such as in the Heston model for the approximative pricing of financial derivatives. Moreover, CIR processes are mathematically interesting due to the irregular square root function in the diffusion coefficient. In the literature, positive strong convergence rates for numerical approximations of CIR processes have been established in the case of an inaccessible boundary point. Since calibrations of the Heston model frequently result in parameters such that the boundary is accessible, we focus on this interesting case. Our main result shows for every $p \in (0, \infty)$ that the drift-implicit square-root Euler approximations proposed in Alfonsi (2005) converge in the strong $L^p$-distance with a positive rate for half of the parameter regime in which the boundary point is accessible. A key step in our proof is temporal regularity of Bessel processes. More precisely, we prove for every $p \in (0, \infty)$ that Bessel processes are temporally $1/2$-Hölder continuous in $L^p$.

연구 동기 및 목표

• 경계 점 0 이 접근 가능할 경우 CIR 과정의 시간 이산 근사에 대해 양의 강한 수렴 속도를 확립하는 것. 이는 헤스턴 모델 캘리브레이션에서 흔한 상황이다.
• 경계가 접근 가능할 경우 CIR 과정에 대한 수렴 속도 결과가 문헌에 부족한 문제를 다루는 것. 특히 $ 2\delta < \beta^2 $ 인 매개변수 영역에서의 결과를 확보하는 것.
• 경계가 접근 가능할 경우에도 베셀 과정의 시간적 $ \frac{1}{2} $-홀더 연속성을 $ L^p $ 에서 증명하는 것. 이는 주요 수렴 결과를 위한 핵심 기술적 도구이다.
• 수치적으로 안정적이고 금융공학에서 널리 사용되는 드리프트-암시적 루트-오일러 스킴으로의 수렴 속도 분석을 확장하는 것.

제안 방법

• CIR 과정의 제곱근 변환에 대한 이토의 보조정리와 지수 역순간 분석을 통해, 베셀 과정의 시간적 $ \frac{1}{2} $-홀더 연속성을 $ L^p $ 에서 유도한다.
• CIR SDE 를 $ Z_t = \sqrt{X_t} $ 로 변환하여, 덧셈성 노이즈를 갖는 베셀 유형 SDE 를 도출함으로써, 경계가 접근 가능한 조건 하에서의 분석을 가능하게 한다.
• 알포니(Alfonsi, 2005) 가 제안한 드리프트-암시적 루트-오일러 스킴을 사용하여, $ X_t $ 의 근사에서 비음성과 안정성을 보장한다.
• $ q < \frac{2\delta}{\beta^2} $ 인 경우 $ X_t^{-q} $ 의 모멘트 유계를 확립함으로써, 영점 근처의 드리프트 계수 제어에 필수적인 조건을 확보한다.
• 측도 변화와 $ \phi(x) = \frac{2}{\beta}\sqrt{x} $ 의 변환을 통해 문제를 강한 수렴 분석에 적합한 형태로 변환한다.
• 시간적 정규성과 모멘트 추정치를 조합하여, 선형 보간 근사의 $ L^p $-노름에서 최종 수렴 속도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 접근 가능할 경우, 드리프트-암시적 루트-오일러 스킴의 CIR 과정에 대한 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 경계가 접근 가능할 경우에도, 베셀 과정의 $ L^p $ 에서 시간적 $ \frac{1}{2} $-홀더 연속성이 확립될 수 있는가?
• RQ3 경계가 접근 가능한 영역에서 $ X_t^{-q} $ 의 모멘트 추정치는 어떻게 행동하며, 수렴 분석에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ 인 경우, $ L^p $-강한 수렴에서 달성 가능한 최적 수렴 속도는 무엇이며, 이는 $ p $ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 경계가 접근 가능할 조건 하에서 $ L^p $-노름에서 $ \frac{1}{2} $-속도를 초월하는 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 경계가 접근 가능하고 $ 2\delta/\beta^2 > 1/2 $ 인 조건 하에서, 모든 $ p \in (0,\infty) $ 에 대해 드리프트-암시적 루트-오일러 근사는 $ L^p $-노름에서 속도 $ \varepsilon - \frac{(2\delta/\beta^2)\wedge 1 - 1/2}{p\vee 1} $ 로 수렴한다.
• 모든 $ p \in (0,\infty) $ 에 대해, 베셀 과정은 시간적으로 $ \frac{1}{2} $-홀더 연속성이 $ L^p $ 에서 성립하며, 이는 지수 역순간 추정치를 통해 증명된다.
• $ \delta > \frac{\beta^2}{4} $ 인 경우, $ p $ 가 작을수록 $ L^p $-노름에서 수렴 속도가 $ \frac{1}{2} $ 를 초과하여, 더 높은 정규성을 반영한다.
• 수렴 속도는 시간 간격 $ [0,T] $ 에서 균일하며, $ 2\delta/\beta^2 $ 가 1 에서의 거리와 $ p $ 의 선택에 따라 영향을 받는다.
• 분석은 드리프트-암시적 스킴이 경계가 접근 가능할 경우에도 안정적이고 수렴함을 확인하여, 문헌의 빈도를 메운다.
• 이 방법은 CIR 과정과 베셀 과정 모두에 적용 가능하며, CIR 과정은 제곱근 변환을 통해 베셀 유형 SDE 로 처리된다.