[논문 리뷰] Strong convergence rates for an explicit numerical approximation method for stochastic evolution equations with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities

Arnulf Jentzen, Primož Pušnik|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 47인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 비글로벌 리프시츠 연속성을 가지는 비선형성을 가진 반선형 스트로복스틱 진동 방정식에 대해 새로운 명시적이고 쉽게 구현 가능한 수치적 방법을 제안한다. 비선형성 정지 지수 오일러 방법을 도입하고 부트스트랩 유형의 추론을 활용하여, 이 분야에서 처음으로 Lp 노름에서 강한 수렴 속도를 확립한다. 전체 이산화된 방법의 수렴 속도는 최대 1/2의 순서에 이르게 된다.

ABSTRACT

In this article we propose a new, explicit and easily implementable numerical method for approximating a class of semilinear stochastic evolution equations with non-globally Lipschitz continuous nonlinearities. We establish strong convergence rates for this approximation method in the case of semilinear stochastic evolution equations with globally monotone coefficients. Our strong convergence result, in particular, applies to a class of stochastic reaction-diffusion partial differential equations.

연구 동기 및 목표

• 비글로벌 리프시츠 연속성을 가지는 비선형성을 가진 스트로복스틱 진동 방정식에 대해 명시적이고 계산적으로 효율적인 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 비글로벌 리프시츠이지만 글로벌 모노톤인 계수를 가진 상황에서 이러한 방법의 강한 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 초선형적으로 증가하는 비선형성을 가진 방정식에 적용했을 때 고전적 명시적 방법(예: 오일러-마르야모 방법)이 나타내는 발산 문제를 극복하기 위해.
• 특히 스트로복스틱 반응-확산 방정식에 대해 수량화된 수렴 속도를 가진 전체 이산화된 근사 방법을 제공하기 위해.
• 유한차원 SODEs에 한정된 명시적 방법의 수렴 이론을 무한차원 SPDEs로 확장하여 비글로벌 리프시츠 비선형성을 가진 상황에까지 확대하기 위해.

제안 방법

• 현재 근사값의 크기에 기반해 비선형성을 잘라내어 폭주를 방지하는 비선형성 정지 지수 오일러 방법을 제안한다.
• 정지된 방법에 대해 강화된 사전 모멘트 경계를 도출하기 위해 부트스트랩 유형의 추론을 활용하여 안정성을 확보한다.
• 정지된 방법과 그 반선형적 대응체 간의 차이를 분석하여 강한 시간 오차 추정치를 확립한다.
• 정지된 방법에 대해 공간적 스펙트럼 갈레르킨 이산화를 적용하고 공간 수렴 속도를 유도한다.
• 유한차원 브라운 운동을 통한 소음 이산화를 적용하고 전체 공간-시간-소음 이산화된 방법의 수렴 속도를 유도한다.
• 오차 분석에서 오차를 제어하기 위해 해 과정의 보간 공간과 정규성 추정치를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비글로벌 리프시츠 연속성을 가지는 비선형성을 가진 반선형 SPDEs에 대해 명시적이고 쉽게 구현 가능한 수치적 방법이 강한 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 글로벌 모노톤이지만 비글로벌 리프시츠 비선형성을 가진 조건에서 이러한 명시적 방법이 달성할 수 있는 최적의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 초선형 성장이 존재하는 상황에서 정지된 방법의 사전 모멘트 경계를 어떻게 강화할 수 있는가?
• RQ4 공간 이산화와 소음 이산화가 전체 이산화된 방법의 총 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 방법은 다항식 비선형성을 가진 스트로복스틱 반응-확산 방정식에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 비선형성 정지 지수 오일러 방법은 모든 p ∈ [2, ∞)에 대해 Lp 노름에서 강한 수렴을 달성한다.
• 이 방법은 η ∈ [γ, 1/2)의 임의의 값에 대해 순서 η의 강한 수렴 속도를 가진다. 여기서 γ는 초기 자료의 정규성 파라미터이다.
• 전체 이산화된 방법의 경우, Lp 노름에서 오차는 O(N^{-η} + n^{-2η} + m^{-2η})의 순서를 가지며, 여기서 N은 시간 단계, n은 공간 갈레르킨 차원, m은 소음 잘라내기 수준이다.
• 적절한 정규성 가정 하에 η를 1/2에 가깝게 선택함으로써 수렴 속도를 임의로 1/2에 가깝게 만들 수 있다.
• 이 방법은 비글로벌 리프시츠 비선형성을 가진 SPDEs에 대해 강한 수렴 속도를 달성한 최초의 명시적이고 완전히 이산화된 방법이다.
• 분석 결과, 이 방법은 세제곱 비선형성과 곱셈형 소음을 가진 스트로복스틱 반응-확산 방정식에 대해 안정적이고 수렴함을 확인한다.