[논문 리뷰] Strong convergence rates for nonlinearity-truncated Euler-type approximations of stochastic Ginzburg-Landau equations

S. Becker, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 60

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 스토크라스틱 Ginzburg-Landau 방정식에 대해 이전에 강한 수렴 결과로 다루어지지 않은 케이스에서 비선형성 절단된 오일러형 스킴을 제안한다. 이를 통해 추상적 바나흐 및 힐버트 공간에서의 새로운 경로 기반 오차 추정과 사전 경계를 활용하여 지수형 및 선형-암시적 오일러형 스킴에 대해 실질적으로 날카로운 강한 수렴 속도를 확립한다.

ABSTRACT

This article proposes and analyzes explicit and easily implementable temporal numerical approximation schemes for additive noise-driven stochastic partial differential equations (SPDEs) with polynomial nonlinearities such as, e.g., stochastic Ginzburg-Landau equations. We prove essentially sharp strong convergence rates for the considered approximation schemes. Our analysis is carried out for abstract stochastic evolution equations on separable Banach and Hilbert spaces including the above mentioned SPDEs as special cases. We also illustrate our strong convergence rate results by means of a numerical simulation in Matlab.

연구 동기 및 목표

• 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 SPDE에서 비선형 항의 초선형 성장에 의해 발생하는 명시적 스킴에 대한 강한 수렴 결과 부족 문제를 해결한다.
• 공간-시간 백색 잡음의 어려운 케이스에서 실현 가능한 명시적 스킴에 대한 강한 수렴을 확립하여 기존 문헌의 격차를 메운다.
• 스토크라스틱 Ginzburg-Landau 방정식에 적용된 비선형성 절단 지수형 및 선형-암시적 오일러 스킴에 대해 실질적으로 날카로운 강한 수렴 속도를 제공한다.
• SPDE가 특수 케이스가 되는 분리 가능 바나흐 및 힐버트 공간 위에서의 추상적 스토크라스틱 진화 방정식으로 수렴 분석을 확장한다.
• Matlab을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하고 수렴 속도를 경험적으로 확인한다.

제안 방법

• 비선형 항의 성장을 방지하기 위해 수치적 스킴 내에서 비선형성을 절단하는 메커니즘을 도입한다.
• 비선형성 절단 지수 오일러 스킴과 비선형성 절단 선형-암시적 오일러 스킴이라는 두 가지 명시적 스킴을 제안한다.
• 적절한 함수 공간에서 정확한 해와 수치적 해에 대한 사전 경계를 도출하기 위해 변분적 및 부트스트랩 논증을 적용한다.
• 정확한 해와 그 반선형 통합 버전 사이, 그리고 수치적 근사와 그 반선형 통합 버전 사이의 경로 기반 오차 추정을 수립한다.
• 삼각 부등식과 모멘트 추정을 활용하여 정확한 해와 수치적 해 사이의 총 오차를 경계한다.
• 반세미군성의 성질과 연산자 노름 추정을 활용하여 시간 간격 동안 오차의 진화를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 스토크라스틱 Ginzburg-Landau 방정식에 대해 명시적이고 쉽게 구현 가능한 수치적 스킴이 강한 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 이 설정에서 비선형성 절단 오일러형 스킴이 달성할 수 있는 최적의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 변분적 및 부트스트랩 논증은 초선형 비선형성을 갖는 SPDE의 해에 대해 날카로운 사전 경계를 유도하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 제안된 절단 전략은 비선형성의 초선형 성장을 효과적으로 억제하여 강한 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ5 절단 임계값은 수치적 스킴의 수렴 속도와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 스토크라스틱 Ginzburg-Landau 방정식에 비선형성 절단 지수 오일러 스킴을 적용한 실질적으로 날카로운 강한 수렴 속도를 확립한다.
• 비선형성 절단 지수 오일러 스킴의 경우, 적절한 초기 자료의 모멘트 조건 하에 모든 $ p \in (0, \infty) $ 에서 $ L^p $-노름에서 $ M^{-\theta} $ 의 수렴 속도를 가지며, $ \theta \in [0, \frac{1}{4}) $ 를 만족한다.
• 비선형성 절단 선형-암시적 오일러 스킴의 경우, 적절한 초기 자료의 정(regularity) 조건 하에 $ \theta \in [0, \frac{1}{4}) $ 에 대해 수렴 속도가 $ M^{-\min(\vartheta\chi, \theta)} $ 의 순서를 가지며, $ \vartheta > 0 $, $ \chi \in (0, \frac{1}{2n}] $, $ p \geq 2 $ 를 만족한다.
• 오차 전파 분석을 통해 주어진 가정 하에서 지수 $ \frac{1}{4} $ 를 향상시킬 수 없음을 확인함으로써 수렴 결과는 날카로운 것으로 간주된다.
• 이론적 수렴 속도는 Matlab을 사용한 수치 시뮬레이션을 통해 검증되었으며, 예측된 속도와 일치하는 결과를 보였다.
• 분석은 분리 가능한 바나흐 및 힐버트 공간 위에서의 광범위한 추상적 스토크라스틱 진화 방정식에 적용 가능하며, SPDE는 이러한 방정식의 특수 케이스로 포함된다.