[논문 리뷰] Strong convergence rates of semi-discrete splitting approximations for stochastic Allen--Cahn equation

Charles-Édouard Bréhier, Jianbo Cui외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $d \leq 3$ 차원에서 가우시안 가소성 노이즈를 가진 스토하스틱 Allen-Cahn 방정식을 해결하기 위해 지수 오일러 적분과 변분적 접근을 조합한 반연속 분할 스킴을 제안한다. 강한 수렴 속도가 최적화되어 있으며, $d=1$에서 시공간 백색 노이즈의 경우 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$이며, 공간적으로 정규화된 노이즈의 경우 $\mathcal{O}(\delta t)$를 달성한다. 이는 단조성 및 지수 적분 가능성 추정을 통해 확보된다.

ABSTRACT

This article analyzes an explicit temporal splitting numerical scheme for the stochastic Allen-Cahn equation driven by additive noise, in a bounded spatial domain with smooth boundary in dimension $d\le 3$. The splitting strategy is combined with an exponential Euler scheme of an auxiliary problem. When $d=1$ and the driving noise is a space-time white noise, we first show some a priori estimates of this splitting scheme. Using the monotonicity of the drift nonlinearity, we then prove that under very mild assumptions on the initial data, this scheme achieves the optimal strong convergence rate $\OO(δt^{\frac 14})$. When $d\le 3$ and the driving noise possesses some regularity in space, we study exponential integrability properties of the exact and numerical solutions. Finally, in dimension $d=1$, these properties are used to prove that the splitting scheme has a strong convergence rate $\OO(δt)$.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 Allen-Cahn 방정식에 적용된 시간 분할 스킴에 대한 최적의 강한 수렴 속도를 유도하기 위해.
• 비글로벌 리프시츠 계수를 가진 SPDE의 강한 수렴 속도에 대한 열린 문제를 해결하기 위해, 특히 스토하스틱 단상 모델의 맥락에서.
• 초기 자료에 대한 최소한의 가정과 다양한 노이즈 유형(시공간 백색 노이즈 및 공간적으로 정규화된 노이즈 포함) 하에서 수렴성을 확립하기 위해.
• 정확한 해와 수치 해의 지수 적분 가능성을 증명하여, 확률 미적분학 및 그로워발 유사 추론을 통해 정밀한 오차 추정을 가능하게 하기 위해.
• 이전 연구에서 제기된 열린 질문을 해결하기 위해, $d=1$에서 시공간 백색 노이즈 조건 하에 강한 수렴 속도 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$를 입증하기 위해.

제안 방법

• 동역학을 선형 및 비선형 하위단계로 분할하여 반연속 분할 스킴을 구성한다: $Y_n = \Phi_{\delta t}(X_n)$, $X_{n+1} = S_{\delta t} Y_n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} S(t_{n+1}-s) dW^Q(s)$, 여기서 $\Phi_{\delta t}$ 는 비선형 상미분방정식 $dX = F(X)dt$ 의 위상 흐름이다.
• 스킴을 수정된 비선형성 $\Psi_{\delta t}$ 를 가진 보조 문제에 적용한 지수 오일러 방법으로 재구성함으로써 안정성 및 수렴성 분석이 가능해진다.
• 비선형 성장의 제어를 위해 드리프트 $F(x) = x - x^3$ 의 단조성을 활용한 변분적 접근을 통해 사전 추정을 도출한다.
• 스토하스틱 콘볼루션 추정 및 소볼레프 포함을 활용하여 $\mathbb{H}^1$ 및 $\mathbb{H}^2$ 공간에서의 모멘트 유계를 통해 정확한 해와 수치 해의 지수 적분 가능성을 확립한다.
• 이산 그로워발 부등식, 허더 및 얀 불등식, $\|X(s)\|_{\mathbb{H}^1}$ 및 $\|Z^N(s)\|_{\mathbb{H}^1}$ 를 포함한 모멘트 추정을 활용하여 강한 수렴 속도를 도출한다.
• $d=1$에서 시공간 백색 노이즈 조건 하에, 초기 자료에 대한 약한 가정 하에 수렴 속도 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$ 가 입증된다; 공간적으로 정규화된 노이즈의 경우 더 강한 적분 가능성 및 정규성 조건을 활용하여 수렴 속도 $\mathcal{O}(\delta t)$ 를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간 백색 노이즈 조건 하에서 $d=1$ 에서 스토하스틱 Allen-Cahn 방정식에 대한 반연속 분할 스킴의 최적 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 적절한 노이즈 정규성 조건 하에서, 분할 스킴은 $\mathcal{O}(\delta t^{1/2})$ 보다 더 높은 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 정확한 해와 수치 해의 지수 적분 가능성 특성이 비리프시츠 SPDE의 오차 추정에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 드리프트가 비글로벌 리프시츠일 경우에도, 조각 없이 또는 억제 없이 강한 수렴성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 드리프트 $F(x) = x - x^3$ 의 단조성이 이 클래스의 SPDE에 대해 최적 수렴 속도 달성을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $d=1$ 및 시공간 백색 노이즈 조건 하에서, 초기 자료에 대한 최소한의 가정(예: $X_0 \in \mathbb{H}^2$) 하에 분할 스킴은 최적의 강한 수렴 속도 $\mathcal{O}(\delta t^{1/4})$ 를 달성한다.
• 공간적으로 정규화된 노이즈 조건 $\|(-A)^{1/2}Q\|_{\mathcal{L}_2^0} < \infty$ 하에, $L^p(\Omega)$-노름에서 임의의 $p \geq 1$ 에 대해 향상된 강한 수렴 속도 $\mathcal{O}(\delta t)$ 를 달성한다.
• 이 증명은 변분적 접근의 새로운 응용과 해 및 수치 스킴의 지수 적분 가능성을 기반으로 하며, 모멘트 유계를 통해 비선형 항을 제어할 수 있다.
• 해와 수치 근사에 대한 $L^6$ 및 $L^{12}$ 모멘트 추정을 확립하여, 이산 그로워발 추론에서 오차 항을 유계화하는 데 필수적이다.
• 스킴은 명시적이고 조건부 안정성을 가지며, 조각 없이 또는 억제 없이 작동하며, 이전의 수렴 속도 추정 없이도 강한 수렴성을 입증한다.
• 이 결과는 [4]에서 제기된, 시공간 백색 노이즈 조건 하에서 스토하스틱 Allen-Cahn 방정식에 대한 분할 스킴의 강한 수렴 속도에 관한 열린 질문을 해결한다.