[논문 리뷰] Strong convergence theorems for strongly relatively nonexpansive sequences and applications

Koji Aoyama, Yasunori Kimura외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 08.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 강하게 상대적으로 비확장성 수열에 대한 강한 수렴 정리를 확립하며, 매개변수에 대한 최소한의 가정 하에 수렴을 증명한다. 핵심 결과는 이중성 사상과 해석자(resolvent)를 통한 정의된 반복 수열이, 수렴 조건이 없는 강제 조정 매개변수를 요구하지 않더라도 최대 단조 연산자의 영점 또는 상대적으로 비확장성 사상의 불동점으로 강하게 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish strong convergence theorems for a strongly relatively nonexpansive sequence in a smooth and uniformly convex Banach space. Then we employ our results to approximate solutions of the zero point problem for a maximal monotone operator and the fixed point problem for a relatively nonexpansive mapping.

연구 동기 및 목표

• 매끄럽고 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 강하게 상대적으로 비확장성 수열에 대한 강한 수렴 정리를 확립하기.
• 이전까지 알려지지 않은 바, $ r_n \to \infty $ 를 요구하지 않는 조건에서 반복 수열이 강하게 수렴하는지 여부에 대한 열린 문제를 다루기.
• 주요 수렴 결과를 최대 단조 연산자의 영점 문제와 상대적으로 비확장성 사상의 고정점 문제에 적용하기.
• 기존 수렴 결과를 일반화하기 위해 $ r_n $ 과 $ \alpha_n $ 등의 매개변수에 대한 가정을 완화하면서도 강한 수렴성을 유지하기.

제안 방법

• 매끄럽고 균일하게 볼록한 바나흐 공간의 맥락에서 강하게 상대적으로 비확장성 수열의 개념을 도입하고 분석하기.
• 이중성 사상 $ J $ 와 그 역 $ J^{-1} $ 을 이용하여, $ A $ 가 최대 단조 연산자일 때 $ (J + r_n A)^{-1}J $ 형태의 해석자와 관련된 반복 수열을 정의하기.
• Maingé(2008)의 보조정리 3.2를 기본 도구로 사용하여, $ \phi(x,y) = \|x\|^2 - 2\langle x, Jy \rangle + \|y\|^2 $ 로 정의된 $ \phi $-함수를 통해 수열의 행동을 제어하기.
• 수열에 대한 조건 (Z) 를 수립: $ x_n - S_n x_n \to 0 $ 이면, $ \{x_n\} $ 의 모든 약한 수렴점이 공통 고정점 집합에 속한다.
• 매핑 $ \{S_n\} $ 이 $ S_n = J^{-1}(\beta_n J + (1 - \beta_n) J T) $ 로 정의될 때, $ T $ 가 상대적으로 비확장성일 경우 $ \{S_n\} $ 이 강하게 상대적으로 비확장성임을 증명하기.
• 균일하게 매끄럽고 균일하게 볼록한 공간에서 $ x_n - y_n \to 0 \Leftrightarrow Jx_n - Jy_n \to 0 \Leftrightarrow \phi(x_n, y_n) \to 0 $ 의 동치관계를 이용하여 수렴성을 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 $ r_n \not\to \infty $ 인 경우에도, 반복 수열 $ x_{n+1} = J^{-1}\left( \frac{1}{n}Jx + \left(1 - \frac{1}{n}\right)J(J + r_n A)^{-1}Jx_n \right) $ 이 최대 단조 연산자 $ A $ 의 영점으로 강하게 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 균일하게 비확장성이 아니지만 강하게 상대적으로 비확장성인 매핑 수열 $ \{S_n\} $ 에서도 강한 수렴이 보장될 수 있는가?
• RQ3 매개변수 $ \alpha_n \to 0 $, $ \sum \alpha_n = \infty $, 그리고 $ \beta_n $ 가 0과 1에서 멀리 떨어져 있을 때, 상대적으로 비확장성 사상에 대해 수렴 결과가 성립하는가?
• RQ4 이중성 사상과 볼록 조합을 통해 정의된 수열 $ \{x_n\} $ 이 해집합의 가장 가까운 점으로 강하게 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 정규화 매개변수 $ r_n $ 이 무한으로 발산하지 않더라도, 즉 0으로부터 거리가 떨어져 있을 때, 수렴 정리가 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 정리 4.1 은 매개변수에 대한 온건한 조건 하에서, 매끄럽고 균일하게 볼록한 바나흐 공간에서 강하게 상대적으로 비확장성 수열에 의해 생성된 반복 수열의 강한 수렴을 확립한다.
• 정리 5.2 는 $ r_n $ 이 0으로부터 거리가 떨어져 있고 $ \alpha_n \to 0 $, $ \sum \alpha_n = \infty $ 인 경우에도, $ x_{n+1} = J^{-1}(\alpha_n Ju + (1 - \alpha_n)JL_{r_n}x_n) $ 로 정의된 수열 $ \{x_n\} $ 이 $ Q_{A^{-1}0}(u) $ 로 강하게 수렴함을 증명한다.
• 매핑 $ \{S_n\} $ 이 $ S_n = J^{-1}(\beta_n J + (1 - \beta_n) J T) $ 로 정의될 때, $ T $ 가 상대적으로 비확장성이고 $ \beta_n \in (0,1) $ 이며 $ \liminf \beta_n > 0 $ 이면, $ \{S_n\} $ 이 강하게 상대적으로 비확장성임을 보였다.
• 조건 (Z) 는 $ \{S_n\} $ 에 대해 검증되었다: $ x_n - S_n x_n \to 0 $ 이면, $ \{x_n\} $ 의 모든 약한 수렴점이 $ F(T) $ 에 속한다. 이는 수렴에 있어 필수적이다.
• 정리 5.5 의 수렴 결과는 [Nilsrakoo-Saejung] 의 가정과 동일한 조건에서 성립하지만, 본 논문은 강하게 상대적으로 비확장성 수열의 일반적 프레임워크를 통해 이 결과를 확장함을 보였다.
• 논문은 $ r_n \to \infty $ 가 필요 없이 강한 수렴이 성립하는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하였으며, 정리 5.2 와 비고 5.3 에서 이에 대한 긍정적 답변을 제시하였다.