[논문 리뷰] Strong cosmic censorship in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat initial data I. The interior of the black hole region

Jonathan Luk, Sung‐Jin Oh|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 19.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 두 끝이 있는 점근적으로 평탄한 초기 자료를 가진 구형 대칭에서 아인슈타인-마ク스웰-(실수)-스칼라장 체계에 대해 강력한 우주 감시 가설의 $C^2$-형식을 증명한다. 스칼라장이 사건의 지평선을 따라 $L^2$-평균 다항하한을 만족할 경우, 블랙홀 내부의 안정성과 불안정성 추정을 활용하여 시공간의 $C^2$-미래 비확장 가능성을 확립한다. 이는 이전 결과에서 요구하던 더 강한 점별 하한 조건을 약화시킨 것이다.

ABSTRACT

This is the first and main paper of a two-part series, in which we prove the $C^{2}$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture for the Einstein-Maxwell-(real)-scalar-field system in spherical symmetry for two-ended asymptotically flat data. For this model, it is known through the works of Dafermos and Dafermos-Rodnianski that the maximal globally hyperbolic future development of any admissible two-ended asymptotically flat Cauchy initial data set possesses a non-empty Cauchy horizon, across which the spacetime is $C^{0}$-future-extendible (in particular, the $C^{0}$-formulation of the strong cosmic censorship conjecture is false). Nevertheless, the main conclusion of the present series of papers is that for a generic (in the sense of being open and dense relative to appropriate topologies) class of such data, the spacetime is future-inextendible with a Lorentzian metric of higher regularity (specifically, $C^{2}$). In this paper, we prove that the solution is $C^{2}$-future-inextendible under the condition that the scalar field obeys an $L^{2}$-averaged polynomial lower bound along each of the event horizons. This, in particular, improves upon a previous result of Dafermos, which required instead a pointwise lower bound. Key to the proof are appropriate stability and instability results in the interior of the black hole region, whose proofs are in turn based on ideas from the work of Dafermos-Luk on the stability of the Kerr Cauchy horizon (without symmetry) and from our previous paper on linear instability of Reissner-Nordstr\\"om Cauchy horizon. In the second paper of the series (arXiv:1702.05716), which concerns analysis in the exterior of the black hole region, we show that the $L^2$-averaged polynomial lower bound needed for the instability result indeed holds for a generic class of admissible two-ended asymptotically flat Cauchy initial data.

연구 동기 및 목표

• 구형 대칭에서 아인슈타인-마크스웰-(실수)-스칼라장 체계에 대한 강력한 우주 감시 가설의 $C^2$-형식을 확립하는 것.
• 일반적인 두 끝이 있는 점근적으로 평탄한 초기 자료가 $C^2$-미래 비확장 가능한 시공간을 유도함을 증명하는 것.
• 스칼라장에 대한 이전의 점별 하한 조건을 더 약한 $L^2$-평균 다항하한 조건으로 대체하여 캐우시 호라이즌의 불안정성을 확보하는 것.
• 이 $L^2$-평균 조건 하에서 캐우시 호라이즌이 불안정함을 보이며, Christoffel 기호가 $p>1$ 인 $L^p$ 에서 발산함을 보이는 것.

제안 방법

• 블랙홀 내부에서 시공간 기하학과 캐우시 호라이즌의 역학을 분석하기 위해 $(u,v)$ 좌표계를 사용한다.
• 빨간 빛 이동과 파란 빛 이동 영역에서의 안정성 추정을 적용하여 스칼라장과 계량 성분의 행동을 제어한다.
• 통합 국소 에너지 감쇠 추정과 빨간 빛 이동 추정을 활용하여 스칼라장의 도함수에 대한 추정을 유도한다.
• 레이차우두리 방정식을 사용하여 $-\frac{\rho}{\rho^2}$ 의 증가와 스칼라장의 에너지 밀도 사이의 관계를 연결한다.
• 통합 에너지 감쇠와 빨간 빛 이동 추정을 사용한 모순 추론을 통해 $\frac{\lambda}{\Omega^2}$ 와 Christoffel 기호의 발산을 보여주는 것.
• 다페로스–룩의 케르르 캐우시 호라이즌 안정성 결과 및 레이셔너–노르트스트롬 불안정성에 관한 이전 연구를 바탕으로 불안정성 프레임워크를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 끝이 있는 점근적으로 평탄한 자료를 가진 아인슈타인-마크스웰-(실수)-스칼라장 체계에 대해, 구형 대칭에서 강력한 우주 감시 가설의 $C^2$-형식이 성립하는가?
• RQ2 $L^2$-평균 다항하한 조건이 사건의 지평선을 따라 스칼라장에 대해 충분히 불안정성의 캐우시 호라이즌을 유도하는가?
• RQ3 이 $L^2$-평균 조건 하에서 시공간은 $C^0$-확장 가능함에도 불구하고 $C^2$-미래 비확장 가능한가?
• RQ4 이 $L^2$-평균 조건 하에서 캐우시 호라이즌 근처에서 Christoffel 기호는 어떻게 행동하는가? 이는 정규성의 상실을 의미하는가?
• RQ5 이 불안정성 메커니즘은 허용 가능한 초기 자료 공간에서 이러한 자료의 일반성과 엄밀하게 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 스칼라장이 사건의 지평선을 따라 $L^2$-평균 다항하한 조건을 만족할 경우, 시공간은 $C^2$-미래 비확장 가능하다.
• $L^2$-평균 하한 조건 하에서 통합 에너지 감쇠와 빨간 빛 이동 추정을 사용한 모순 추론을 통해 $\frac{\lambda}{\Omega^2}$ 의 발산이 입증된다.
• 모든 $p>1$ 에 대해 국소 $L^p_{\text{loc}}$ 에서 $(\sigma_{\mathbb{S}^2}^{-1})^{AB}\Gamma^u_{AB}$ 형식의 Christoffel 기호가 캐우시 호라이즌 근처에서 발산한다.
• $L^2$-평균 하한 조건은 어떤 $C^0$-확장에서도 캐우시 호라이즌 근처에서 스칼라장이 $W^{1,2}_{\text{loc}}$ 에 속하지 않음을 의미한다.
• 이 증명은 캐우시 호라이즌이 이 $L^2$-평균 조건 하에서 불안정함을 보이며, 강력한 우주 감시 가설의 $C^2$-형식을 확인한다.
• 불안정성 메커니즘은 강력하며 전체 캐우시 호라이즌으로 확장되며, $(u,v)$ 와 $(u,V)$ 좌표계 양쪽에서 발산이 확인된다.