[논문 리뷰] Strong-Feller property for Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 27.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정규성 구조 이론을 사용하여 시공간 백색소음에 의해 구동되는 2D 및 3D 나비에-스토크스 방정식과 관련된 마코프 반군에 대해 강한 펄러 성질을 확립한다. 강한 펄러 성질을 증명함으로써 저자들은 $\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$ 인 $\mathcal{C}^{\eta}$ 공간 내 모든 초기 조건에 대해 해의 전역 존재성을 보장하며, 거의 확실한 초기 자료를 초월한 잘 정의된 문제의 확장을 이룬다.

ABSTRACT

In this paper we prove strong Feller property for the Markov semigroups associated to the two or three dimensional Navier-Stokes (N-S) equations driven by space-time white noise using the theory of regularity structures introduced by Martin Hairer in [Hai14]. This implies global well-posedness of 2D N-S equation driven by space-time white noise starting from every initial point in $C^η$ for $η\in (-\frac{1}{2},0)$.

연구 동기 및 목표

• 시공간 백색소음에 의해 구동되는 2D 및 3D에서의 정규화된 마코프 반군에 대해 강한 펄러 성질을 확립하는 것.
• 거의 확실한 초기 자료를 초월하여 $\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$ 인 $\mathcal{C}^{\eta}$ 공간 내 모든 초기 조건에 대해 전역 잘 정의된 해의 존재를 확장하는 것.
• 나비에-스토크스 방정식에 존재하는 레일리 프로젝션으로 인해 이전의 추상적 결과들이 직접 적용되지 못하는 문제를 극복하는 것.
• 정규성 구조 이론과 파라컨트롤 분포를 활용하여 해 반군을 구성하고 분석하는 것.

제안 방법

• 저자들은 [17, 절 2]의 추상적 강한 펄러 성질 프레임워크를 확장하여 확률적 나비에-스토크스 설정에 적응한다.
• 그들은 마틴 하이어의 정규성 구조 이론을 사용하여 시공간 백색소음이 작용하는 약한 정의의 3D 나비에-스토크스 방정식에 엄밀한 의미를 부여한다.
• 구축 과정은 특이한 소음과 비선형성을 다루기 위해 파라컨트롤 분포와 재정규화 기법에 의존한다.
• 이 방법은 초기 조건과 소음 경로에 대해 해 사상의 공동 연속성과 프레셰 미분 가능성을 증명하는 데 포함된다.
• 이 프레임워크는 하강 반연속 함수 $r_t$를 통한 폭발 시간의 가측적이고 국소 리프시츠 연속적인 제어를 포함한다.
• 마코프 반군의 존재가 확립되며, 도함수 구조가 소음 작용과 호환되기 때문에 강한 펄러 성질이 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간 백색소음에 의해 구동되는 2D 및 3D 나비에-스토크스 방정식과 관련된 마코프 반군이 강한 펄러 성질을 만족하는가?
• RQ2 거의 확실한 초기 조건이 아닌, $\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$ 인 $\mathcal{C}^{\eta}$ 공간 내 모든 초기 조건에 대해 해의 전역 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ3 레일리 프로젝션의 존재로 이전의 추상적 결과들이 직접 적용되지 못하는 상황에서도 강한 펄러 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ4 정규성 구조 이론은 이 특이한 확률적 편미분방정식의 해 반군을 구성하고 분석하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 시공간 백색소음에 의해 구동되는 2D 및 3D 나비에-스토크스 방정식과 관련된 마코프 반군에 대해 강한 펄러 성질이 성립한다.
• 모든 초기 조건 $u_0 \in \mathcal{C}^\eta$ ($\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$)에 대해 시간에 대해 전역 존재성이 확립된다. 거의 확실한 경우를 초월하여 성립한다.
• 2D 방정식의 불변 측도는 $\mathcal{C}^\eta$ 위에서 전체 영역을 지닌 가우시안 측도이며, 강한 펄러 성질은 이 공간 내 모든 초기점에서 폭발 시간이 거의 확실하게 무한함을 보장한다.
• 해 사상은 초기 조건에 대해 공동 연속적이며 프레셰 미분 가능하므로, 점점 가까워지는 방법과 에르고딕성 논증을 사용할 수 있다.
• 비선형성과 프로젝션 구조가 존재하더라도, [17]의 추상적 강한 펄러 프레임워크를 나비에-스토크스 설정에 성공적으로 적용하였다.
• 결과들은 복잡한 비선형성과 곱셈형 소음이 존재하는 특이한 SPDE를 다룰 때 정규성 구조 접근법의 강력함을 보여준다.