[논문 리뷰] Strong instability of standing waves for nonlinear Schrödinger equations with attractive inverse power potential

Noriyoshi Fukaya, Masahito Ohta|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 06.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 18인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 행동 가능한 역제곱 퍼텐셜을 가진 비선형 슈뢰딩거 방정식의 정적 파동 해의 강한 불안정성을 입증한다. 이는 기저 상태에서 작용 함수의 이阶미분이 음이거나 0이 아닐 조건 하에 성립한다. 척도 변환과 비릴 항등식을 사용하여, 정적 파동의 소규모 편미분은 유한 시간 내에 폭발함을 증명한다. 이는 이전에 조화 퍼텐셜에 대해 알려진 결과를 역제곱 퍼텐셜으로 확장한 것이다.

ABSTRACT

We study the strong instability of standing waves $e^{iωt}ϕ_ω(x)$ for nonlinear Schrödinger equations with an $L^2$-supercritical nonlinearity and an attractive inverse power potential, where $ω\in\mathbb{R}$ is a frequency, and $ϕ_ω\in H^1(\mathbb{R}^N)$ is a ground state of the corresponding stationary equation. Recently, for nonlinear Schrödinger equations with a harmonic potential, Ohta (2018) proved that if $\partial_λ^2S_ω(ϕ_ω^λ)|_{λ=1}\le0$, then the standing wave is strongly unstable, where $S_ω$ is the action, and $ϕ_ω^λ(x)\mathrel{\mathop:}=λ^{N/2}ϕ_ω(λx)$ is the scaling, which does not change the $L^2$-norm. In this paper, we prove the strong instability under the same assumption as the above-mentioned in inverse power potential case. Our proof is applicable to nonlinear Schrödinger equations with other potentials such as an attractive Dirac delta potential.

연구 동기 및 목표

• 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 인력 역제곱 퍼텐셜을 가진 정적 파동 해의 강한 불안정성을 조사한다.
• 이전에 조화 퍼텐셜에 대해 입증된 강한 불안정성 기준을 역제곱 퍼텐셜의 경우로 확장한다.
• 척도 변환 하에서 작용 함수의 행동을 분석하고 비릴 항등식을 통해 폭발 조건을 도출한다.
• 기저 상태의 소규모 $ H^1 $-편미분이 기저 상태에서의 작용 함수의 이阶미분이 음이거나 0이 아닐 경우에 유한 시간 내 폭발함을 증명한다.

제안 방법

• 정적 파동 해를 $ e^{i heta t} heta_ heta(x) $ 로 정의하며, 여기서 $ heta_ heta \neq 0 $ 는 정적 방정식 $ -\triangle \theta_ heta + \theta \theta_ heta - \frac{\theta}{|x|^\theta} \theta_\theta - |\theta_\theta|^{p-1} \theta_\theta = 0 $ 을 만족한다.
• 작용 함수 $ S_\theta(v) = E(v) + \frac{\theta}{2} \norm{v}_{L^2}^2 $ 를 정의하며, 여기서 $ E(v) $ 는 에너지이고, 이를 통해 변분 최소화를 통해 기저 상태를 특성화한다.
• 작용 함수의 이阶미분 $ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $ 를 분석하며, 이는 핵심 불안정성 조건으로 작용한다. 이는 $ L^2 $-노름을 유지하는 척도 변환 $ \theta_\theta^\theta(x) = \theta^{N/2} \theta_\theta(\theta x) $ 을 적용하여 유도된다.
• 비릴 항등식 $ \frac{d^2}{dt^2} \norm{x u(t)}_{L^2}^2 = 8Q(u(t)) $ 를 유도하며, 여기서 $ Q(u) $ 는 작용 함수의 변화와 관련된 이차형식이다.
• 불등식 $ Q(u(t)) \nleq 16(S_\theta(u(t)) - S_\theta(\theta_\theta)) < 0 $ 를 사용하여 $ \norm{x u(t)}_{L^2} $ 가 유한 시간 내에 음수가 되는 것을 보이고, 이는 폭발을 의미한다.
• 기저 상태에 대해 $ H^1 $에서 임의로 가까운 초기 자료 $ u_0 = \theta_{M_0} \theta_\theta^{\theta_0} $ (여기서 $ \theta_0 > 1 $) 의 수열을 구성하여, 이들이 유한 시간 내 폭발을 유도함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 인력 역제곱 퍼텐셜을 가진 정적 파동 해 $ e^{i\theta t} \theta_\theta $ 가 어떤 조건에서 강하게 불안정한가?
• RQ2 이전에 조화 퍼텐셜에 대해 알려진 작용 함수의 이阶미분 기반 강한 불안정성 기준이 역제곱 퍼텐셜의 경우로 확장될 수 있는가?
• RQ3 기저 상태의 척도 변환이 작용과 비릴 양 $ Q(u) $ 에 어떤 영향을 미치며, 이는 해의 안정성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 기저 상태에 대해 $ H^1 $에서 임의로 가까운 초기 자료를 구성할 수 있는가? 이 자료들은 조건 $ \theta_\theta^2 S_\theta(\theta_\theta^\theta) \big|_{\theta=1} \nleq 0 $ 를 만족할 때 유한 시간 내 폭발을 유도하는가?
• RQ5 특이하고 역제곱 형태의 퍼텐셜을 가진 경우에도 비릴 항등식이 기저 상태 근처 해의 폭발을 증명하는 데 효과적인가?

주요 결과

• 기저 상태에서의 작용 함수의 이阶미분이 음이거나 0이 아닐 경우, 정적 파동 $ e^{i\theta t} \theta_\theta $ 는 강하게 불안정하다. 이는 이전에 조화 퍼텐셜에 대해 알려진 결과를 역제곱 퍼텐셜으로 확장한 것이다.
• 증명은 $ \theta_0 > 1 $ 인 초기 자료 $ u_0 = \theta_{M_0} \theta_\theta^{\theta_0} $ 의 수열을 구성함으로써 이루어지며, 이는 $ H^1 $에서 $ \theta_\theta $ 에 대해 임의로 가까운데, $ S_\theta(u_0) < S_\theta(\theta_\theta) $ 이고 $ Q(u_0) < 0 $ 이다.
• 비릴 항등식 $ \frac{d^2}{dt^2} \norm{x u(t)}_{L^2}^2 = 8Q(u(t)) \nleq 0 $ 는 해가 전역적으로 존재할 경우 모순을 일으키며, 이는 유한 시간 내 폭발을 의미한다.
• 주어진 조건 하에서 작용 함수 $ S_\theta(\theta_\theta^\theta) $ 는 $ \theta > 1 $ 에서 엄격히 감소하므로 $ S_\theta(u_0) < S_\theta(\theta_\theta) $ 가 보장된다.
• 함수 $ Q(\theta_\theta^\theta) $ 는 $ \theta > 1 $ 에서 엄격히 음수이며, 이는 비릴 항등식이 음의 곡률을 유도하고, 결과적으로 폭발을 이끌어낸다.
• 결과는 강건하며, 인력 델타 함수 퍼텐셜과 같은 다른 퍼텐셜에도 적용 가능하다. 이는 척도 변환과 작용 함수의 변화에 의존하기 때문이다.