[논문 리뷰] Strong limit theorems for extended independent and extended negatively dependent random variables under non-linear expectations

Zhang Li|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 02.

Probability and Risk Models참고 문헌 27인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 하위선형 기대 하에서 확장된 독립성 및 확장된 음의 의존성(random variables)의 수열에 대해 강한 대수법칙과 반복 로그 법칙에 대한 강력한 극한정리들을 수립한다. 펑의 원래 독립성 정의보다 더 쉽게 검증할 수 있는 더 약한 형태의 의존성 형태를 도입하고, 새로운 모멘트 및 지수부등식을 유도하며, 확장된 독립성 하에서 강한 대수법칙이 성립하기 위한 조건으로 코흐레티 적분 조건 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ 가 필수적이고 충분함을 증명한다.

ABSTRACT

Limit theorems for non-additive probabilities or non-linear expectations are challenging issues which have raised progressive interest recently. The purpose of this paper is to study the strong law of large numbers and the law of the iterated logarithm for a sequence of random variables in a sub-linear expectation space under a concept of extended independence which is much weaker and easier to verify than the independence proposed by Peng (2008b). We introduce a concept of extended negative dependence which is an extension of this kind of weak independence and the extended negative independence relative to classical probability appeared in recent literatures. Powerful tools as the moment inequality and Kolmogorov's exponential inequality are established for this kind of extended negatively independent random variables, which improve those of Chen, Chen and Ng(2010) a lot. And the strong law of large numbers and the law of iterated logarithm are obtained by applying these inequalities.

연구 동기 및 목표

• 하위선형 기대 하에서 고전적 독립성 이외의 극한정리 프레임워크를 확장하기 위해.
• 펑의 정의보다 더 쉽게 검증할 수 있는 더 약한 확률적 독립성 형태인 확장된 독립성을 도입하고 분석하기 위해.
• 확장된 음의 의존성 확률변수에 특화된 새로운 모멘트 및 지수부등식을 개발하기 위해.
• 이러한 확장된 의존성 구조 하에서 강력한 대수법칙과 반복 로그 법칙을 수립하기 위해.
• 확장된 독립성 하에서 강력한 대수법칙이 성립하기 위한 조건 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ 가 필수적이고 충분함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 비음수 함수 $ \psi_i \in C_{l,Lip}(\mathbb{R}) $ 에 대해 조건 $ \widehat{\mathbb{E}}[\prod_{i=1}^n \psi_i(X_i)] = \prod_{i=1}^n \widehat{\mathbb{E}}[\psi_i(X_i)] $ 를 통해 확장된 독립성을 정의한다.
• 하위선형 기대의 맥락에서 고전적 음의 의존성의 일반화로서 확장된 음의 의존성을 정의한다.
• 확장된 음의 의존성 확률변수에 대해 새로운 모멘트 부등식 및 코모고로프 유형의 지수부등식을 수립한다.
• 부분합의 꼬리 확률을 통제하기 위해 보렐-칸토렐리 보조정리와 상한용량 $ \mathbb{V}^* $ 의 가산가소성을 적용한다.
• 큰 편차를 통제하기 위해 절단 기법을 사용하며, $ Y_k = (-b_k) \vee (X_k \wedge b_k) $ 와 $ b_k = k^\beta $ 를 설정한다.
• 부분합 증분에 대한 지수 bound 를 확보하고, $ n_k = [e^{k^{1-\alpha}}] $ 를 사용한 부분수열 추론 기법을 통해 거의확실 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위선형 기대 하에서 강력한 극한정리가 성립하기 위해 필요한 가장 약한 형태의 확률적 독립성은 무엇인가?
• RQ2 최소한의 모멘트 조건 하에서 확장된 독립성 하에서 강력한 대수법칙을 수립할 수 있는가?
• RQ3 비선형 기대 공간에서 확장된 음의 의존성 확률변수에 대해 모멘트 및 지수부등식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 확장된 독립성 하에서 강력한 대수법칙이 성립하기 위한 조건 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ 가 필수적이고 충분한가?
• RQ5 하위선형 기대 하에서 확장된 음의 의존성 수열에 대해 반복 로그 법칙을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 확장된 독립성 하에서 강력한 대수법칙이 성립하는 것은 $ C_{\mathbb{V}}(|X_1|) < \infty $ 인 것과 동치이며, 이는 장(2016)의 결과를 더 약한 의존성 구조로 일반화한다.
• 확장된 음의 의존성 확률변수에 대해 새로운 모멘트 부등식 및 코모고로프 유형의 지수부등식이 수립되었으며, 첸, 첸, 그리고 닝(2010)의 결과를 향상시킨다.
• 하위선형 기대 하에서 확장된 음의 의존성 수열에 대해 반복 로그 법칙이 증명되었으며, 정규화 항수 $ a_n = \sqrt{2n \log \log n} $ 를 사용한다.
• 강력한 대수법칙의 필요조건 증명은 부분합의 꼬리 용량에 대한 정교한 분석과 부분수열 $ n_k = [e^{k^{1-\alpha}}] $ 의 사용에 기반한다.
• 지수 bound 와 보렐-칸토렐리 추론 기반으로 $ \mathbb{V}^*\left(\limsup_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n (Y_k - \widehat{\mathbb{E}}[Y_k])}{a_n} > (1+\epsilon)^2\right) = 0 $ 이 성립함을 증명한다.
• 결과는 $ \widehat{\mathbb{E}}[X_1] = 0 $, $ \widehat{\mathbb{E}}[X_1^2] = 1 $, 그리고 어떤 $ \gamma > 0 $ 에 대해 $ \mathbb{E}[|X_1|^{2+\gamma}] < \infty $ 라는 조건 하에서 성립한다.