[논문 리뷰] Strong limit theorems for weighted sums of negatively associated random variables in nonlinear probability

Yuting Lan, Ning Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 19.

Probability and Risk Models참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비독립성과 동일분포 조건 없이 비선형 확률공간에서 음의 상관관계를 가진 랜덤 변수들의 가중합에 대해 강한 극한정리들을 수립한다. 상한-하한 기대값 프레임워크 하에서 마르친키에비치-지그문드 및 콜모고로프 유형의 강한 대수법칙을 도출하고, 이를 통해 음의 상관관계 및 수직적으로 독립적인 랜덤 변수들에 대해 스트라센 유형의 불변성 원리들을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, based on the initiation of the notion of negatively associated random variables under nonlinear probability, a strong limit theorem for weighted sums of random variables within the same frame is achieved without assumptions of independence and identical distribution, from which the Marcinkiewich-Zygmund type and Kolmogorov type strong laws of large numbers are derived. In addition, as applications of our results, Stranssen type invariance principles of negatively associated random variables and vertically independent random variables are proposed respectively.

연구 동기 및 목표

• 비가환 기대값이 성립하지 않는 비선형 확률공간으로 고전적인 강한 대수법칙(SLLN)을 확장하기 위해.
• 비선형 기대값 하에서 음의 상관관계를 가진 랜덤 변수들의 SLLN에서 독립성 및 동일분포 조건을 제거하기 위해.
• 상한-하한 기대값의 맥락에서 마르친키에비치-지그문드 및 콜모고로프 유형의 SLLN을 도출하기 위해.
• 새로운 SLLN 결과를 활용하여 음의 상관관계 및 수직적으로 독립적인 랜덤 변수들에 대해 스트라센 유형의 불변성 원리들을 수립하기 위해.
• 비가환 측도 하에서 음의 상관관계 개념과 모멘트 조건을 활용하여 기존의 비선형 확률에서의 SLLN을 일반화하기 위해.

제안 방법

• 가족으로 구성된 확률측도로부터 유도된 상한-하한 기대값을 사용한 비선형 확률의 프레임워크를 도입한다.
• 고전적인 종속성 개념을 비가환 프레임워크로 확장하여 비선형 확률 설정에서 음의 상관관계를 가진 랜덤 변수를 정의한다.
• 꼬리 행동를 제어하기 위해 모멘트 조건을 적용: $\sup_{i\geq 1}\mathbb{E}[|X_i|^{\alpha+1}] < \infty$ for some $\alpha > 0$.
• 상한 및 하한 기대값 $\mathbb{E}[X] = \sup_{P\in\mathcal{P}} E_P[X]$, $\mathcal{E}[X] = \inf_{P\in\mathcal{P}} E_P[X]$의 구조를 사용하여 경로별 거의확실 수렴을 도출한다.
• 정규화 $A_n$을 사용한 가중합 $\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathbb{E}[X_i])$ 및 $\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathcal{E}[X_i])$에 극한정리를 적용한다.
• 하한 측도 $v$ 하에서 정규화된 가중합의 함수형식의 상한 및 하한극한을 분석하여 불변성 원리를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비독립성 및 동일분포 조건 없이 비선형 확률공간에서 음의 상관관계를 가진 랜덤 변수들의 가중합에 대해 강한 대수법칙을 수립할 수 있는가?
• RQ2 비선형 확률에서 상한-하한 기대값 하에서 마르친키에비치-지그문드 및 콜모고로프 유형의 SLLN은 어떻게 일반화되는가?
• RQ3 모멘트 조건과 정규화 수열에 어떤 조건이 필요하여 비선형 프레임워크에서 가중합의 거의확실 수렴을 보장할 수 있는가?
• RQ4 새로운 SLLN 결과로부터 비선형 확률에서 종속적인 랜덤 변수들에 대해 스트라센 유형의 불변성 원리를 도출할 수 있는가?
• RQ5 비선형 기대값 하에서 수직적으로 독립적인 랜덤 변수들에 대해 결과는 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 논문은 비선형 확률 하에서 음의 상관관계를 가진 랜덤 변수들의 가중합에 대해 강한 대수법칙을 수립하였으며, $\mathbb{V}\left(\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n} < 0\right\} \cup \left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n} > 0\right\}\right) = 0$ 임을 보였다.
• 모든 $1 \leq p < 1 + \alpha$ 에 대해 마르친키에비치-지그문드 SLLN이 성립한다: $\mathbb{V}\left(\left\{\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n^{1/p}} < 0\right\} \cup \left\{\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n^{1/p}} > 0\right\}\right) = 0$.
• 하한 측도는 $v\left(\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathcal{E}[X_i])}{n^{1/p}} \geq 0\right) = 1$ 과 $v\left(\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{n^{1/p}} \leq 0\right) = 1$ 를 만족한다.
• 스트라센 유형의 불변성 원리가 증명되었다: 연속 함수 $\varphi$ 에 대해 $v\left(\limsup_{n\to\infty}\varphi\left(\frac{\sum_{i=1}^n a_i(X_i - \mathbb{E}[X_i])}{A_n}\right) \leq \sup_{x\leq 0}\varphi(x)\right) = 1$.
• 동일한 모멘트 및 정규화 조건 하에서 수직적으로 독립적인 랜덤 변수들에 대해서도 동일한 불변성 원리가 성립한다.
• 정규화의 성장 조건 $\lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{n^{1/(\beta+1)}} = \infty$ 이며 $\beta \in (0, \min(1,\alpha))$ 를 만족함으로써 충분한 성장이 보장되며, 이 조건 하에서 결과가 도출된다.