[논문 리뷰] Strong Marstrand theorems and dimensions of sets formed by subsets of hyperplanes

K. J. Falconer, Pertti Mattila|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 R^n의 m차원 부분공간으로의 사영에 대해 Marstrand의 사영 정리의 강력한 형태를 확립하며, 비정상적인 차원 행동을 보이는 방향들의 예외 집합이 고려된 부분집합과 무관하게 영인 하우스도르프 측도를 가짐을 증명한다. 이러한 결과를 응용하여, R^n의 집합 E ⊂ R^n을 통과하는 초평면들의 합집합의 차원이 min{dim_H E + n − 1, n}임을 보이고, dim_H E > 1일 경우 양의 르베그 측도를 가짐을 보이며, Keleti의 선분 및 초평면에 대한 추측을 일반화한다.

ABSTRACT

We present strong versions of Marstrand's projection theorems and other related theorems. For example, if E is a plane set of positive and finite s-dimensional Hausdorff measure, there is a set X of directions of Lebesgue measure 0, such that the projection onto any line with direction outside X, of any subset F of E of positive s-dimensional measure, has Hausdorff dimension min(1,s), i.e. the set of exceptional directions is independent of F. Using duality this leads to results on the dimension of sets that intersect families of lines or hyperplanes in positive Lebesgue measure.

연구 동기 및 목표

• 집합 F에 대한 예외 집합이 독립된 Marstrand의 사영 정리의 강력한 형태를 확립하기 위해.
• 길이가 양인 초평면의 부분집합에 대해 Keleti의 결과를 일반화하기 위해.
• 주어진 집합 E ⊂ R^n을 통과하는 초평면들의 합집합의 정확한 하우스도르프 차원과 르베그 측도를 결정하기 위해.
• 교차 조건 하에서 사영의 가족으로 이러한 결과를 확장하고 예외 집합의 차원을 유계화하기 위해.

제안 방법

• m-평면로의 직교 사영에 따른 사영 측도의 행동을 분석하기 위해 잠재론과 에너지 적분의 사용.
• 차원 행동을 제어하기 위해 서로소 가측 집합 위에 유한 에너지 측도로 하우스도르프 측도를 분해.
• 점과 선(또는 초평면) 사이의 이중성 적용을 통해 사영 정리와 교차 정리를 연결.
• 르베그의 Fubini 정리와 m-평면 위로의 그래프로 초평면을 매개변수화하여 차원을 축소하고 기존의 사영 결과를 적용.
• Fourier 변환 기법과 사영 밀도의 L^2 유계성에 기반한 증명을 통해 s > m일 경우 절대 연속성과 양의 르베그 측도를 확보.
• 매개변수화된 가족에서 Marstrand의 선 교차 정리를 적용하여 이미지 집합의 차원을 유계화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 E가 양의 유한한 s차원 하우스도르프 측도를 가진다고 가정할 때, Marstrand의 사영 정리에서 예외적인 방향 집합이 E의 부분집합 F에 따라 달라지지 않게 만들 수 있는가?
• RQ2 Borel 집합 E ⊂ R^n이 주어졌을 때, dim_H E = s일 경우, 모든 E를 통과하는 초평면들의 합집합의 정확한 하우스도르프 차원은 얼마인가?
• RQ3 E를 통과하는 초평면들의 합집합이 언제 양의 n차원 르베그 측도를 가질 수 있는가?
• RQ4 s ≤ m 또는 s > m일 경우, 사영의 예외 집합의 차원은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 m < n−1인 m-평면으로의 사영에 대해 강력한 사영 정리를 확장할 수 있으며, 그 제한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 H^s-가측 집합 E ⊂ R^n에 대해 0 < H^s(E) < ∞ 이고 s = dim_H E > 0 이면, γ_{n,m}-측도가 0인 집합 X ⊂ G_{n,m}이 존재하여, 모든 V ∈ G_{n,m} \ X에 대해 H^s-가측 부분집합 F ⊂ E 이고 H^s(F) > 0 이면 dim_H proj_V F = min{dim_H F, m}를 만족한다.
• s > m일 경우, X 외부의 모든 V ∈ G_{n,m}에 대해 F의 사영은 양의 m차원 르베그 측도를 가지며, 즉 L^m(proj_V F) > 0 이다.
• 비정상적인 차원 행동을 보이는 사영의 예외 집합 X는 s ≤ m일 경우 최대 m(n−m−1) + s의 하우스도르프 차원을 가지며, s > m일 경우 최대 m(n−m)의 하우스도르프 차원을 가진다.
• Borel 집합 E ⊂ R^n을 통과하는 모든 초평면들의 합집합 L(E)는 dim_H L(E) = min{dim_H E + n − 1, n}을 만족한다.
• 만약 dim_H E > 1 이면, 합집합 L(E)는 양의 n차원 르베그 측도를 가지며, 즉 L^n(L(E)) > 0 이다.
• 만약 dim_H E > (m+1)(n−m)−m 이면, E를 통과하는 m-평면들의 합집합은 R^n에서 양의 르베그 측도를 가지며, Oberlin의 결과를 확장한다.