[논문 리뷰] Strong rates of convergence of space-time discretization schemes for the 2D Navier-Stokes equations with additive noise

Hakima Bessaih, Annie Millet|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 스토크래틱 나비에-스토크스 방정식에 대해 추가 노이즈 조건 하에서 완전히 암시적 공간-시간 이산화 방법의 강한 수렴 속도를 확립한다. 해와 그 시간 근사의 유한 지수적 모멘트를 활용하여, 국소화 없이 이산 그론발레 렘마를 사용하여 시간에 대해 η ∈ [0, 1/2)의 최적 수렴 속도와 공간에 대해 1의 수렴 속도를 증명한다. 이는 추가 노이즈 조건 하에서 이전 결과를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

We consider the strong solution of the 2D Navier-Stokes equations in a torus subject to an additive noise. We implement a fully implicit time numerical scheme and a finite element method in space. We prove that the rate of convergence of the schemes is $\eta\in[0,1/2)$ in time and 1 in space. Let us mention that the coefficient $\eta$ is equal to the time regularity of the solution with values in $\LL^2$. Our method relies on the existence of finite exponential moments for both the solution and its time approximation. Our main idea is to use a discrete Gronwall lemma for the error estimate without any localization.

연구 동기 및 목표

• 2차원 스토크래틱 나비에-스토크스 방정식에 대해 추가 노이즈 조건 하에서 완전히 암시적 시간 및 공간-시간 이산화 방법의 강한 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 비선형 스토크래틱 편미분방정식에서 국소화 기법의 한계를 극복하기 위해 해와 그 시간 근사의 유한 지수적 모멘트를 사용하기 위해.
• 시간과 공간 이산화 파라미터 간의 제약 조건 없이 시간에 대해 η ∈ [0, 1/2)의 최적 수렴 속도와 공간에 대해 1의 수렴 속도를 증명하기 위해.
• 추가 노이즈 조건 하에서 점도 및 노이즈 강도에 의존하지 않는 수렴 속도 경계를 확보하기 위해 이전의 다항 수렴 속도 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 토러스 위에서 2차원 스토크래틱 나비에-스토크스 방정식에 대해 시간에 대해 완전히 암시적 오일러 방법을 구현하고, 공간에 대해 유한요소 방법을 적용하기 위해.
• 비국소화된 비선형 항을 처리하기 위해 국소화가 필요 없이 이산 그론발레 렘마를 사용한 오차 추정을 위해.
• 특히 supₜ∈[0,T] |A¹ᐟ²u(t)|² 및 |Au(s)|²의 시간 적분에 대해 해와 그 시간 근사의 유한 지수적 모멘트를 확립하기 위해.
• 이토의 공식과 마르팅게일 기법을 사용한 지수적 모멘트 경계 증명을 위해, 스케일링과 브라운 운동 증분의 독립성을 활용하기 위해.
• 호르멘더 유형의 모멘트 추정을 적용하고, 공분산 연산자 Q를 가진 중심화된 가우시안 랜덤 변수 Y를 사용해 노이즈 항을 제어하기 위해.
• 정규 및 랜덤 초기 조건의 경우 오차 항의 지수적 모멘트를 제어하기 위해 적절히 선택된 쌍대 지수를 가진 허더의 부등식을 사용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 노이즈 조건 하에서 국소화 없이 2차원 스토크래틱 나비에-스토크스 방정식에 대해 완전히 암시적 시간 및 공간-시간 방법의 강한 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ2 추가 노이즈 조건 하에서 시간 및 공간-시간 방법의 최적 수렴 속도는 무엇이며, 이는 해의 시간 정규성에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 시간과 공간 이산화 파라미터 간의 제약 조건 없이 시간에 대해 η ∈ [0, 1/2)의 수렴 속도와 공간에 대해 1의 수렴 속도로 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 해와 그 시간 근사의 지수적 모멘트는 국소화 없이 강한 수렴을 도출하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 유한 지수적 모멘트와 최적 수렴 속도를 확보하기 위해 초기 조건과 노이즈 강도에 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 시간 암시적 오일러 방법은 점도 및 노이즈 강도에 영향을 받지 않는 최적 수렴 속도 η ∈ [0, 1/2)를 시간에 대해 달성한다.
• 전체 공간-시간 방법은 hη + k의 수렴 속도를 보이며, 여기서 h는 시간 단계, k는 유한요소 스케일링이고, η ∈ (0, 1/2)이므로 공간 수렴 속도가 최적의 1을 달성한다.
• 일반적인 유한요소가 이산 LBB 조건을 만족하는 한, 시간과 공간 이산화 파라미터 간의 제약 조건 없이 수렴 결과가 성립한다.
• H¹에서의 결정론적 초기 조건에 대해, 수렴 결과는 L²(Ω)에서 명시적인 다항 수렴 속도를 보이며, 지수적 모멘트 경계에 의존한다.
• 지수적 모멘트의 순서가 γ₀인 랜덤 초기 조건에 대해, γ₀가 ν와 T에 대해 충분히 크고 Tr(Q)가 유계이면 수렴 속도가 유지된다.
• 증명은 해와 그 시간 근사에 대해 유한 지수적 모멘트의 존재를 확립하여, 국소화 없이 전역 그론발레 추론을 사용할 수 있도록 한다.