[논문 리뷰] Strong solutions to the 3D primitive equations with only horizontal dissipation: near $H^1$ initial data

Chongsheng Cao, Jinkai Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 21.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 初기 자료가 $H^1$ 및 $H^1 ackslash cap L^\infty$ 에 속하고 $\partial_z v_0 \in L^m$ 를 만족하는 경우, 수평 방향에만 소산이 존재하는 3차원 원시 방정식에 대한 강한 해의 국소적 및 전역적 잘 정의됨을 확립한다. $m \in (2,\infty)$ 이다. 이는 비균질 소볼레프 부등식과 로그형 그로워일 부등식을 사용하여 달성되었으며, 이는 이전 결과에서 요구하던 $H^2$ 초깃값이 필요로 하지 않는 개선이다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the initial-boundary value problem of the three-dimensional primitive equations for oceanic and atmospheric dynamics with only horizontal viscosity and horizontal diffusivity. We establish the local, in time, well-posedness of strong solutions, for any initial data $(v_0, T_0)\in H^1$, by using the local, in space, type energy estimate. We also establish the global well-posedness of strong solutions for this system, with any initial data $(v_0, T_0)\in H^1\cap L^\infty$, such that $\partial_zv_0\in L^m$, for some $m\in(2,\infty)$, by using the logarithmic type anisotropic Sobolev inequality and a logarithmic type Gronwall inequality. This paper improves the previous results obtained in [Cao, C.; Li, J.; Titi, E.S.: Global well-posedness of the 3D primitive equations with only horizontal viscosity and diffusivity, Comm. Pure Appl.Math., Vol. 69 (2016), 1492-1531.], where the initial data $(v_0, T_0)$ was assumed to have $H^2$ regularity.

연구 동기 및 목표

• 초깃값이 $H^1$ 에 속하는 경우, 수평 점성 및 확산만 존재하는 3차원 원시 방정식에 대한 강한 해의 국소적 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 초깃값이 $H^1 \cap L^\infty$ 이고 $\partial_z v_0 \in L^m$, $m \in (2,\infty)$ 인 경우 전역적 잘 정의됨을 확장하여, 이전 결과에서 요구하던 $H^2$ 정규성 조건을 개선하기 위해.
• 해의 성장률을 제어하기 위해 로그형 비균질 소볼레프 부등식과 로그형 그로워일 부등식을 개발하고 적용하기 위해.
• 해의 물리적 타당성을 검증하기 위해 수직 소산 없이도 전역 존재를 보여주어 해양 및 대기 역학과 일관되게 하기 위해.

제안 방법

• 국소 공간 에너지 추정을 사용하여 $H^1$ 초깃값에 대해 국소적 잘 정의됨을 증명한다.
• 비균질 소볼레프 부등식을 사용하여 수평 도함수로 수직 도함수의 수직 도함수를 제어한다.
• 고차원 노름의 시간에 따른 성장률을 제어하기 위해 로그형 그로워일 부등식을 적용한다.
• 수평 소산만 존재하는 원시 방정식의 구조를 이용하여 수직 점성에 의존하지 않는 에너지 추정을 유도한다.
• 비균질 소산의 성격을 다루기 위해 변수 교체와 가중치 적분을 구현한다.
• 뉴턴 포텐셜 표현과 부분 적분을 이용하여 해의 점별 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수평 방향에만 소산이 존재하는 3차원 원시 방정식에 대해, 초깃값이 $H^1$ 에 속할 경우 강한 해가 국소적으로 존재함을 보일 수 있는가?
• RQ2 수직 소산이 없는 경우, 어떤 정규성 조건이 강한 해의 전역 존재를 보장하는 데에 충분한가?
• RQ3 수직 점성이 없는 상황에서 비균질 소볼레프 부등식을 어떻게 사용하여 해의 거동을 제어할 수 있는가?
• RQ4 이 시스템에서 로그형 그로워일 부등식을 효과적으로 적용하여 $H^1$ 유형의 노름 성장률을 제어할 수 있는가?
• RQ5 초깃값의 필요 정규성을 $H^2$ 에서 $H^1 \cap L^\infty$ 와 약간의 수직 도함수 적분 가능성 조건으로 낮출 수 있는가?

주요 결과

• 국소 공간 에너지 추정을 사용하여, 임의의 초깃값 $(v_0, T_0) \in H^1$ 에 대해 강한 해의 국소적 잘 정의됨이 확립된다.
• 비균질 소볼레프 및 로그형 그로워일 부등식을 통해, 초깃값 $(v_0, T_0) \in H^1 \cap L^\infty$ 이고 $\partial_z v_0 \in L^m$, $m \in (2,\infty)$ 인 경우 전역적 잘 정의됨이 증명된다.
• 이전 연구에서 요구하던 $H^2$ 정규성 조건을 $H^1 \cap L^\infty$ 와 약간의 수직 도함수 제어 조건으로 낮춤으로써 결과를 개선했다.
• 로그형 그로워일 부등식은 해의 $H^1$-노름이 시간에 따라 성장하는 것을 효과적으로 제어한다.
• 이 방법은 수직 소산 없이도 전역 존재를 보여주므로 모델의 물리적 일관성을 확인한다.
• 분석은 강한 수평 소산과 약한 수직 소산을 가진 시스템에서 비균질 추정의 효과성을 입증한다.