[논문 리뷰] Strong Taylor approximation of stochastic differential equations and application to the Lévy LIBOR model

Antonis Papapantoleon, Maria Siopacha|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정 또는 일반 세미마르팅게일에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDE)을 위한 강력한 테일러 근사 방법을 제안한다. 이 방법은 매개변수를 중심으로 한 변화량과 테일러 전개를 사용하여 해를 근사한다. 이 방법은 표준 고결된 드리프트 근사보다 더 정확하고 계산 효율성이 높은 캡 및 스왑션 가격 산정을 가능하게 하며, 행사가와 만기 기간에 관계없이 임의의 변동성 차이가 1% 미만임을 보여준다.

ABSTRACT

In this article we develop a method for the strong approximation of stochastic differential equations (SDEs) driven by Lévy processes or general semimartingales. The main ingredients of our method is the perturbation of the SDE and the Taylor expansion of the resulting parameterized curve. We apply this method to develop strong approximation schemes for LIBOR market models. In particular, we derive fast and precise algorithms for the valuation of derivatives in LIBOR models which are more tractable than the simulation of the full SDE. A numerical example for the Lévy LIBOR model illustrates our method.

연구 동기 및 목표

• 레비 과정 또는 세미마르팅게일에 의해 구동되는 SDE의 강력한 근사화를 위한 일반적이고 계산 효율성이 높은 방법을 개발하는 것.
• 특히 스왑션과 장기 만기 상품에 대해 고결된 드리프트 근사의 한계를 해결하는 것.
• 변형된 SDE의 테일러 전개를 활용하여 고결된 드리프트 방법의 이론적으로 타당한 고차수 대체 방법을 제공하는 것.
• 전체 SDE 시뮬레이션 없이도 이자율 파생상품의 빠르고 정확한 평가를 가능하게 하는 것.
• 전체 SDE 시뮬레이션 및 고결된 드리프트 근사와의 수치적 비교를 통해 방법의 정확도를 입증하는 것.

제안 방법

• 원래 SDE에 실수 매개변수를 도입하여 매개변수화된 SDE 가족을 생성하기 위해 SDE를 변형한다.
• 매개변수 값 0 주변에서 변형된 SDE의 해에 대해 테일러 전개를 적용하고 일阶 항만 유지한다.
• 결과로 얻어진 일阶 테일러 근사를 파생상품 평가 공식 내 전체 SDE 동역학에 대체한다.
• 근사된 레이버 과정을 대체하여 캡렛 및 스왑션 가격에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 임의의 변동성 차이를 통해 전체 SDE 시뮬레이션 및 고결된 드리프트 근사와의 성능을 비교한다.
• 앞선 측도 및 측도 전환 기법을 활용하여 스왑션 가치를 근사된 레이버 동역학으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 근사 방법이 레비 LIBOR 모델에서 고결된 드리프트 근사보다 개선될 수 있는가?
• RQ2 일阶 강력한 테일러 근사는 캡렛 및 스왑션에 대해 전체 SDE 시뮬레이션 결과를 얼마나 정확하게 재현하는가?
• RQ3 특히 장기 만기 파생상품에 대해 테일러 기반 방법은 다양한 행사가와 만기 기간 동안 낮은 오차를 유지하는가?
• RQ4 이 방법은 연속적인 확산 뿐 아니라 일반 세미마르팅게일에 의해 구동되는 LIBOR 모델에 일반적으로 적용 가능한가?
• RQ5 실제로 전체 SDE 시뮬레이션에 비해 테일러 방법의 계산적 이점은 무엇인가?

주요 결과

• 강력한 테일러 근사는 모든 행사가와 만기 기간에 걸쳐 전체 SDE 시뮬레이션과 근사치 사이의 임의의 변동성 차이를 1% 이하로 줄인다.
• 고결된 드리프트 근사는 근시적 옵션에 대해 1% 이론을 초과하는 임의의 변동성 오차를 보이며, 이는 상당한 정확도 부족을 시사한다.
• 고결된 드리프트 방법의 성능은 스왑 만기 길어짐에 따라 악화되는 반면, 테일러 방법은 안정적이고 정확하다.
• 일阶 테일러 근사는 영차수 고결된 드리프트 근사에 대해 이론적으로 타당한 개선을 제공한다.
• 이 방법은 전체 SDE 시뮬레이션 없이도 캡 및 스왑션의 빠르고 정확한 가격 산정을 가능하게 하며, 파생상품 평가에 실용적인 대안을 제공한다.
• 수치적 결과는 강력한 테일러 방법이 모든 시험된 만기 및 행사가에서 캡렛 및 스왑션 가격 산정에서 고결된 드리프트 근사보다 뛰어난 성능을 보임을 확인한다.