[논문 리뷰] Strongly Monotone Drawings of Planar Graphs

Stefan Felsner, Alexander Igamberdiev외 4명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 07.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 3-연결 평면 그래프, 외부 평면 그래프, 2-트리에 대해 교차 없는 강한 단조성 그림을 구성하는 알고리즘을 제시한다. 주요 기여는 이러한 그래프 클래스가 그러한 그림을 허용한다는 것을 증명하는 것으로, 모든 구성에서 지수 영역이 필요하며, 비트리 클래스에 대해 다항 영역 그림이 가능한지 여부는 여전히 열려 있다.

ABSTRACT

A straight-line drawing of a graph is a monotone drawing if for each pair of vertices there is a path which is monotonically increasing in some direction, and it is called a strongly monotone drawing if the direction of monotonicity is given by the direction of the line segment connecting the two vertices. We present algorithms to compute crossing-free strongly monotone drawings for some classes of planar graphs; namely, 3-connected planar graphs, outerplanar graphs, and 2-trees. The drawings of 3-connected planar graphs are based on primal-dual circle packings. Our drawings of outerplanar graphs are based on a new algorithm that constructs strongly monotone drawings of trees which are also convex. For irreducible trees, these drawings are strictly convex.

연구 동기 및 목표

• 평면 그래프에 대한 교차 없는 강한 단조성 그림을 구성하는 알고리즘을 개발하기 위해.
• 3-연결 평면 그래프, 외부 평면 그래프, 2-트리가 그러한 그림을 허용한다는 것을 입증하기 위해.
• 강한 단조성 그림의 영역 요구 조건을 탐색하고, 비트리 클래스에 대해 다항 영역이 가능할지 여부를 결정하기 위해.
• 아직 완전히 해결되지 않은 클래스인 2-연결 평면 그래프에 대해 강한 단조성 그림의 존재성을 조사하기 위해.

제안 방법

• 3-연결 평면 그래프에 대한 강한 단조성 그림 생성을 위해 원형 쌍대 포장( primal-dual circle packings )을 사용하기 위해.
• 특히 비가역 트리에 대해 볼록 및 엄밀히 볼록한 강한 단조성 그림을 생성하기 위한 새로운 알고리즘을 설계하기 위해.
• 버블 배치를 통한 그림 확장: 기존의 변 근처의 작은 반지름 버블에 새로운 정점을 삽입하여 강한 단조성을 유지하기 위해.
• 모든 간선 방향과 목표 정점으로 향하는 벡터 간의 각도 제약 조건을 제어하여 강한 단조성을 확보하기 위해, r 및 ε를 매개변수로 사용하고 r/ε를 작게 유지하기 위해.
• 새로운 버블을 통한 경로 재정렬이 각도 안전 조건(예: 각도 < α/4)을 유지함으로써 강한 단조성을 유지함을 증명하기 위해.
• 모든 정점 쌍에 대해 결과 그림이 여전히 평면적이며 강한 단조성의 정의를 충족함을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3-연결 평면 그래프는 강한 단조성과 평면성을 동시에 만족하는 그림으로 그릴 수 있는가?
• RQ2 외부 평면 그래프는 교차 없는 강한 단조성 그림을 허용하는가?
• RQ3 2-트리는 구조적 알고리즘을 사용하여 강한 단조성과 평면성을 동시에 만족하는 그림으로 그릴 수 있는가?
• RQ4 비트리 평면 그래프의 강한 단조성 그림에 대해 지수 영역이 필수적인가?
• RQ5 모든 2-연결 평면 그래프는 강한 단조성 그림을 허용하는가?

주요 결과

• 모든 3-연결 평면 그래프는 원형 쌍대 포장( primal-dual circle packings )을 사용하여 교차 없는 강한 단조성 그림을 허용한다.
• 외부 평면 그래프는 볼록 및 엄밀히 볼록한 트리 그림을 위한 새로운 알고리즘을 통해 교차 없는 강한 단조성 그림을 허용한다.
• 모든 2-트리는 버블 삽입과 각도 제약 조건 강제를 통해 교차 없는 강한 단조성 그림을 허용한다.
• 이 세 그래프 클래스에 대한 모든 구성에서 지수 영역이 필요하며, 트리의 경우 이 상한이 날카로운 것이다.
• 컴퓨터 지원 검색을 통해 강한 단조성 그림을 허용하지 않는 유일한 7정점 연결 그래프를 식별하였으며, 이는 일반적인 경우의 한계를 시사한다.