[논문 리뷰] Strongly Proximal Continuity \& Strong Connectedness

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 10.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 강한 근접성(strong proximity)을 이용해 강한 근접 연속성(s.p.c.)과 강한 연결성을 도입한다. 강한 근접성은 집합의 공집합이 아닌 내부를 기반으로 하는 강화된 근접 관계이다. 주요 결과로는, 호환 가능한 강한 근접성을 지닌 공간 간의 전단사 강한 근접 동치(s.p.e.)가 강한 히트 및 미스 하이퍼위상이 부여된 하이퍼공간 위에서 호메오모르피즘을 유도한다는 것이다. 이는 강한 근접성과 하이퍼공간 위상기하학 및 연결성 간의 연결고리를 제공한다.

ABSTRACT

This article introduces strongly proximal continuous (s.p.c.) functions, strong proximal equivalence (s.p.e.) and strong connectedness. A main result is that if topological spaces $X,Y$ are endowed with compatible strong proximities and $f:X\longrightarrow Y$ is a bijective s.p.e., then its extension on the hyperspaces $\CL(X)$ and $\CL(Y)$, endowed with the related strongly hit and miss hypertopologies, is a homeomorphism. For a topological space endowed with a strongly near proximity, strongly proximal connectedness implies connectedness but not conversely. Conditions required for strongly proximal connectedness are given. Applications of s.p.c. and strongly proximal connectedness are given in terms of strongly proximal descriptive proximity.

연구 동기 및 목표

• 강한 근접성 공리계를 이용해 강한 근접 연속 함수와 강한 근접 동치를 체계화하기.
• 강한 근접성이 부여된 위상공간에서 강한 연결성을 정의하고 분석하기.
• 강한 연결성이 표준 위상연결성으로 이어지는 조건을 설정하기.
• 강한 근접성과 호환되는 강한 히트 및 미스 하이퍼위상으로 하이퍼공간에 대한 결과를 확장하기.
• 특히 계산 및 기하학적 응용 분야에서 기술적 근접성에 이 프레임워크를 적용하기.

제안 방법

• 강한 근접성의 정의를 공리(N0)–(N6)를 통해 하되, 집합의 공집합이 아닌 내부 교차와 점 기반 근접성을 강조한다.
• 강한 근접성을 보존하는 사상으로서 강한 근접 연속(s.p.c.) 함수를 도입한다.
• 강한 근접성을 양방향으로 보존하는 전단사 s.p.c. 함수로서 강한 근접 동치(s.p.e.)를 정의한다.
• 강한 근접성 기반의 하위기저 원소를 이용해 하이퍼공간 CL(X) 및 CL(Y) 위에 강한 히트 및 미스 하이퍼위상을 구성한다.
• 이 하이퍼위상 하에서 전단사 s.p.e. 함수가 하이퍼공간 CL(X)와 CL(Y) 사이에 호메오모르피즘을 유도함을 증명한다.
• 체인 기반 구성과 정규 열린 집합을 이용해 강한 연결성과 강한 근접성 하에서의 닫힘 성질을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 근접 연결성이 표준 위상연결성으로 이르는 조건은 무엇인가?
• RQ2 강한 근접 연속성은 표준 위상학적 연속성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 하이퍼공간 간의 강한 근접 동치에서 어떤 위상 성질이 유지되는가?
• RQ4 공집합이 아닌 내부 교차를 갖는 열린 집합의 체인을 통해 강한 연결성이 특성화될 수 있는가?
• RQ5 강한 연결된 집합의 닫힘은 어떤 조건에서 여전히 강하게 연결되어 있는가?

주요 결과

• 강한 히트 및 미스 하이퍼위상이 부여된 하이퍼공간 CL(X)와 CL(Y) 사이에서, 전단사 함수 f: X → Y 가 강한 근접 동치(s.p.e.)이면, 이는 CL(X)와 CL(Y) 사이의 호메오모르피즘을 유도한다.
• 강한 근접 연결성은 표준 연결성을 함의하지만, 그 역은 성립하지 않으며, 논문에서 반례로 이를 보여준다.
• 만약 집합 A가 순차적으로 강하게 근접한 정규 열린 집합들의 유한한 합집합이라면, A의 닫힘은 강하게 연결되어 있다.
• 모든 부분집합 G에 대해 A ⊆ G ⊆ cl(A) 이고 A 가 강하게 연결되어 있다면, 동일한 강한 근접성 하에서 G 도 강하게 연결되어 있다.
• 가산 공간에서, 임의의 연속하는 점들이 공통된 내부가 연결된 열린 집합에 속해 있다면, 그 공간은 강하게 연결되어 있다.
• 강한 연결된 공간의 모든 열린 덮개는, 임의의 두 점을 연결하는 강한 체인을 포함하며, 이 체인에서 연속하는 집합들은 강하게 근접하다.