[논문 리뷰] Strongly regular Cayley graphs from partitions of subdifference sets of the Singer difference sets

Koji Momihara, Qing Xiang|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 17.

Coding theory and cryptography참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 차수를 가진 서브차이 집합에서 유도된 서브차이 집합의 분할을 이용하여 유한체 위에서 초타원형 유형의 강한 정규 케일리 그래프의 새로운 리프팅 구조를 제시한다. $m$-오버랩과 $i$-타이트 집합과 관련된 이전의 구조를 일반화함으로써 저자들은 기존 결과들을 통합하고 단순화하였으며, 아핀 폴라 그래프와 매칭되는 매개변수를 가진 새로운 또는 비동형의 강한 정규 그래프를 도출하였다. 이는 $\mathbb{F}_{q^{2m}}$에서의 예시를 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, we give a new lifting construction of "hyperbolic" type of strongly regular Cayley graphs. Also we give new constructions of strongly regular Cayley graphs over the additive groups of finite fields based on partitions of subdifference sets of the Singer difference sets. Our results unify some recent constructions of strongly regular Cayley graphs related to $m$-ovoids and $i$-tight sets in finite geometry. Furthermore, some of the strongly regular Cayley graphs obtained in this paper are new or nonisomorphic to known strongly regular graphs with the same parameters.

연구 동기 및 목표

• 초타원형 유형의 강한 정규 케일리 그래프를 위한 새로운 리프팅 구조를 개발하는 것.
• 유한 기하학에서 $m$-오버랩과 $i$-타이트 집합과 관련된 최근의 강한 정규 케일리 그래프 구조를 통합하는 것.
• 서인 차이 집합의 서브차이 집합을 사용하여 기존 구조에 대한 더 단순한 증명을 제공하는 것.
• 기존의 가족들(예: 아핀 폴라 그래프)과 동일한 매개변수를 가진 새로운 또는 비동형의 강한 정규 그래프를 생성하는 것.

제안 방법

• 서인 차이 집합의 서브차이 집합의 일반화된 분할을 이용하여 $\mathbb{F}_q$에서 $\mathbb{F}_{q^m}$로 순환 강한 정규 그래프를 리프팅하는 것.
• 강한 정규성의 고유값 조건을 검증하기 위해 유한체 위에서 가우스 합 기법과 캐릭터 합 분석을 적용하는 것.
• 서브체와 추적 사상의 구조를 이용하여 서브차이 집합을 분할하고 캐릭터 합을 제어하는 것.
• 순환 클래스 $C_t^{(N,q^m)}$와 그 합집합의 성질을 활용하여 케일리 그래프의 연결 집합을 정의하는 것.
• 결과로 얻어진 케일리 그래프가 강한 정규성에 필요한 고유값 및 인접 행렬 조건을 만족하는지 확인하는 것.
• 연결 집합 $D$의 캐릭터 합이 오직 두 개의 서로 다른 제한 고유값을 갖는다는 것을 증명하여 강한 정규성을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서인 차이 집합의 서브차이 집합에서 초타원형 유형의 강한 정규 케일리 그래프를 위한 새로운 리프팅 구조를 개발할 수 있는가?
• RQ2 서브차이 집합 분할을 통해 $m$-오버랩과 $i$-타이트 집합 기반의 구조를 어떻게 통합하고 단순화할 수 있는가?
• RQ3 새로운 구조가 동일한 매개변수를 가진 기존 그래프와 비동형인 강한 정규 그래프를 도출하는가?
• RQ4 가우스 합과 추적 사상은 이러한 케일리 그래프의 고유값을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 결과 그래프가 라틴 스퀘어 또는 음의 라틴 스퀘어 유형의 매개변수를 갖기 위해 $q$와 $m$에 어떤 조건이 필요한가?

주요 결과

• 기존 타원형 유형의 구조를 확장하여 초타원형 유형의 강한 정규 케일리 그래프를 위한 새로운 리프팅 구조가 확립되었다.
• 모든 $q \equiv 3 \pmod{4}$ 이며 홀수 $m > 1$ 인 경우, $(q^{2m}, r(q^m+1), -q^m + r^2 + 3r, r^2 + r)$ 형태의 강한 정규 케일리 그래프가 존재하며, 여기서 $r = q^{m-1}(q-1)/2$ 이다.
• 모든 $q \equiv 1 \pmod{4}$ 이며 홀수 $m > 1$ 이고 $\gcd(q-1, (q^m-1)/(q-1)) = 1$ 인 경우, $(q^{2m}, r(q^m-1), q^m + r^2 - 3r, r^2 - r)$ 형태의 강한 정규 케일리 그래프가 존재하며, 여기서 $r = q^{m-1}(q-1)/2$ 이다.
• 자동화군 크기 비교를 통해 $q=3$, $m=3$ 인 경우에 생성된 그래프는 동일한 매개변수를 가진 아핀 폴라 그래프 ${\mathrm{AP}}^{-}$와 비동형임을 확인하였다.
• 자동화군 순서의 차이를 통해 $q=5$, $m=3$ 인 경우에 생성된 그래프는 동일한 매개변수를 가진 아핀 폴라 그래프 ${\mathrm{AP}}^{+}$와 비동형임을 다시 한번 확인하였다.
• 최근의 $m$-오버랩과 $i$-타이트 집합 관련 구조들은 서인 차이 집합의 서브차이 집합 분할을 일반화함으로써 통합되고 단순화되었다.