[논문 리뷰] Strongly symmetric spectral convex bodies are Jordan algebra state spaces

Howard Barnum, Joachim Hilgert|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 49인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럴성과 강한 대칭성을 만족하는 유한차원 볼록 컴acts 집합이 정규화된 유한차원 단순 유클리드 조르단 대수의 상태 공간과 단체들임을 규명한다. 이 결과는 이전에 특성화 과정에서 가정된 고차 간섭의 부재가, 스펙트럴성과 강한 대칭성이 존재할 경우 여전히 불필요하다는 것을 보여주며, 양자 유사 시스템에 대한 순수한 볼록기하학적 특성화를 제공하고, 타당한 일반적 확률론적 이론의 범주를 조르단 대수적 구조로 좁힌다.

ABSTRACT

We show that the strongly symmetric spectral convex compact sets are precisely the normalized state spaces of finite-dimensional simple Euclidean Jordan algebras and the simplices. Spectrality is the property that every state has a convex decomposition into perfectly distinguishable pure states; strong symmetry is transitivity, for each integer N, of the affine automorphism group of the state space on lists of N perfectly distinguishable pure states. Additional assumptions combine with this theorem to give simple characterizations of finite-dimensional complex quantum state space. Important aspects of quantum and classical thermodynamics and of query complexity have been generalized to classes of general probabilistic theories (GPTs) satisfying natural postulates including or implying spectrality and strong symmetry; our result shows that these apply to a narrower class of theories than might have been hoped. Sorkin's notion of irreducibly k-th order interference has been studied in the GPT framework and looked for in experiments. Our result shows that the assumption of no higher-order (k > 2) interference, used along with spectrality and strong symmetry to characterize the same class of Jordan-algebraic convex sets by Barnum, Mueller, and Ududec in arXiv:1403.4147, was superfluous. It also implies that Lee and Selby's extension, on the assumption that interference has fixed maximal degree k, of the important order square root of N lower bound on the quantum black-box query complexity of searching N possibilities for one having a desired property (which is achieved by Grover's quantum algorithm), to a class of theories satisfying certain postulates allowing the formulation of a generalized notion of query algorithm, actually applies in the Jordan-algebraic setting where higher-order interference is not possible.

연구 동기 및 목표

• 유한차원에서 스펙트럴성과 강한 대칭성을 만족하는 볼록 컴팩트 집합을 특성화하는 것.
• 고차 간섭의 부재를 별도의 가정으로 두지 않고도, 이러한 성질들만으로도 유한차원 단순 유클리드 조르단 대수의 상태 공간과 단체들을 완전히 특성화할 수 있음을 보이는 것.
• 스펙트럴성과 강한 대칭성이 존재할 경우 고차 간섭의 부재가 어떻게 불필요한지 보여줌으로써 일반적 확률론적 이론에서 고차 간섭의 역할을 명확히 하는 것.
• 일반적 확률론적 이론의 프레임워크 안에서 양자 및 고전 시스템을 이해하기 위한 순수한 볼록기하학적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 볼록 집합 위에서의 대칭군 작용을 분석하며, 완전히 구별 가능한 순수 상태들의 리스트 위에서의 전이적 작용에 초점을 맞춘다.
• 대칭 공간의 극좌표 표현과 리 대수 분해 g = k ⊕ p를 사용하여 자동군의 상태 공간 위에서의 작용을 연구한다.
• 특히 An−1 계열에서 유클리드 조르단 대수의 맥락에서 기본 무게와 웨일 군 궤도를 규명한다.
• 트레이스가 0인 프로젝션(예: e₁₁ − I/n)의 웨일 군 궤도의 볼록결합은 트레이스가 0인 행렬에서 단체를 생성하며, 이는 애핀 동형사상 아래 상태 공간에 대응한다.
• 정규화된 상태 공간이 단위트레이스 행렬에서 e₁₁의 K-궤도의 볼록결합과 애핀 동형임을 입증한다. 이를 위해 I/n을 이동시켜 수행한다.
• 매든-로버트슨 구성법을 활용하여 기본 무게를 궤도체와 연결하고, 코엑서 다이어그램의 첫 번째 및 마지막 노드의 궤도체가 서로 동형인 단체를 이룬다는 것을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴성과 강한 대칭성을 동시에 만족하는 어떤 유한차원 볼록 컴팩트 집합이 존재하는가?
• RQ2 스펙트럴성과 강한 대칭성이 이미 가정된 상황에서, 조르단 대수적 상태 공간을 특성화하기 위해 고차 간섭의 부재를 별도의 가정으로 두는 것이 필수적인가?
• RQ3 유한차원 단순 유클리드 조르단 대수의 상태 공간을 스펙트럴성과 강한 대칭성과 같은 순수한 볼록기하학적 성질만으로 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ4 궤도체와 웨일 군 작용의 기하학적 구조는 일반적 확률론적 이론의 물리적 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 트레이스가 0인 행렬과 단위트레이스 행렬의 부분공간은 대칭 공간의 구조에서 정규화된 상태 공간을 구성하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 스펙트럴성과 강한 대칭성을 만족하는 유한차원 볼록 컴팩트 집합은 정확히 유한차원 단순 유클리드 조르단 대수의 정규화된 상태 공간과 단체들이다.
• 고차 간섭의 부재는 별도의 공리로 필요하지 않으며, 스펙트럴성과 강한 대칭성에 의해 유추될 수 있다.
• 단순 유클리드 조르단 대수의 상태 공간은 단위트레이스 행렬에서 랭크-1 프로젝션의 K-궤도의 볼록결합과 애핀 동형이다.
• 트레이스가 0인 대각선 행렬에서의 웨일 군 작용(예: e₁₁ − I/n)은 볼록결합이 상태 공간에 애핀 동형으로 대응하는 단체를 생성한다.
• An−1의 경우 기본 무게 λ₁과 λₙ₋₁는 궤도체를 형성하며, 이들은 애핀 동형으로 단체와 일치한다. 이는 구성의 이중성과 대칭성을 확인한다.
• λ₁의 웨일 궤도로 생성된 단체의 극체는 다시 한 번 단체이며, 이는 An−1의 코엑서 다이어그램이 자기이중적임과 일관된다.