[논문 리뷰] Structural Instability of a Biochemical Process

V. I. Grytsay|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 27.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 벤티논 알고리즘과 그람–슈미트 수직화를 활용한 리아푸노프 스펙트럼 분석을 통해 생화학적 시스템에서의 구조적 불안정성을 조사한다. 비가역적 생계시스템에서 결정론적 난류가 발생하는 데에는 접힘과 콘ical 형성이라는 두 가지 구체적인 메커니즘이 존재하며, 이는 서로 경쟁하는 지수적 발산과 위상공간 수축의 결과로 발생한다. 이로 인해 결정론적 법칙 하에서도 장기 예측이 불가능한 진동을 유도한다.

ABSTRACT

By the example of a mathematical model of a biochemical process, the structural instability of dynamical systems is studied by calculating the full spectrum of Lyapunov indices with the use of the generalized Benettin algorithm. For the reliability of the results obtained, the higher Lyapunov index determined with the orthogonalization of perturbation vectors by the Gram-Schmidt method is compared with that determined with the overdetermination of only the norm of a perturbation vector. Specific features of these methods and the comparison of their efficiencies for a multidimensional phase space are presented. A scenario of the formation of strange attractors at a change of the dissipation parameter is studied. The main regularities and the mechanism of formation of a deterministic chaos due to the appearance of a fold or a funnel, which leads to the uncertainty of the evolution of a biosystem, are determined.

연구 동기 및 목표

• 비선형 생화학적 시스템에서 엄밀한 리아푸노프 지수 계산을 통해 구조적 불안정성을 조사하기 위해.
• 리아푸노프 지수를 계산하는 데 사용되는 두 가지 수치적 방법—노름만을 사용한 과다정의와 그람–슈미트 수직화—의 신뢰성과 효율성을 비교하기 위해.
• 생계시스템에서 결정론적 난류가 발생하는 동역학적 메커니즘—특히 접힘과 콘ical 형성—을 규명하기 위해.
• 소산 매개변수 α에 따른 정상적인 궤도에서 난류 궤도로의 전이를 분석하기 위해.
• 결정론적 난류가 지수적 발산과 전역적 위상공간 수축 간의 경쟁으로 인해 발생하며, 이로 인해 장기 예측이 불가능하다는 것을 입증하기 위해.

제안 방법

• 생물반응기 모델링을 위한 10차원 동역학계에 대해 일반화된 벤티논 알고리즘을 적용하여 리아푸노프 지수의 전체 스펙트럼을 계산하였다.
• 수치적 안정성을 확보하기 위해 통합 과정 중에 변위 벡터의 정규수직성을 유지하기 위해 그람–슈미트 수직화를 사용하였다.
• 수치 정확성을 검증하기 위해 수직화 결과와 단순 노름 과다정의 결과를 비교하였다.
• 시간 간격 T 동안 궤도 상의 궤적을 따라 10개의 초기 정규수직 단위 노름 변위 벡터의 진화를 추적하였다.
• 리아푸노프 지수는 변위 벡터 노름의 시간 평균 로그 성장률로 계산되었으며, λ_j = (1/(nτ)) Σ ln(||u_k|| / ε) 로 표현된다.
• 위상공간 부피 수축의 척도로 리아푸노프 지수의 합(Λ)을 분석하여, 모든 영역에서 음수의 발산을 확인함으로써 시스템의 소산 성격을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수치적 방법의 선택(노름만 vs. 그람–슈미트 수직화)이 고차원 시스템에서 리아푸노프 지수 계산의 신뢰성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 이 생화학 모델에서 결정론적 난류가 발생하는 데 기여하는 동역학적 메커니즘—특히 접힘 또는 콘ical 형성—은 무엇인가?
• RQ3 소산 매개변수 α는 시스템에서 정상 궤도에서 난류 궤도로의 전이를 어떻게 규제하는가?
• RQ4 첫 번째 리아푸노프 지수(λ₁)는 난류 발생의 특징을 규명하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 이상한 궤도의 구조와 어떻게 상관관계가 있는가?
• RQ5 위상공간 수축(Λ < 0)과 지수적 발산(λ₁ > 0)이 얼마나 겹쳐져 있으며, 이러한 이중성은 어떻게 난류 행동을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 노름 과다정의와 그람–슈미트 수직화를 통해 계산된 고차원 리아푸노프 지수는 거의 동일한 값을 보이며, 수치적 구현의 신뢰성을 확인하였다.
• 이상한 궤도(n*2^∞)의 경우, λ₁ > 0 이고 λ₂ ≈ 0 이며, 이는 한 방향으로의 지수적 발산과 두 번째 방향으로의 준주기적 행동을 나타내며, on–off 간섭성과 일치한다.
• 세 번째 리아푸노프 지수(λ₃)는 λ₁과 λ₂와 반상관 관계를 보이며, λ₁과 λ₂가 증가할수록 감소하고, 모든 α 값에서 음수를 유지하였다.
• 모든 α 값에서 리아푸노프 지수의 합(Λ)은 음수였으며, 이는 시스템의 소산 성격을 확인하였고, 정상 궤도(n*2⁰)에서는 이상한 궤도(n*2^∞)보다 더 강한 수축을 보였다.
• α = 0.032165626064 에서 13*2^∞ 이상한 궤도가 형성되었으며, 이는 주기 두배의 연속적 과정을 통해 간섭성 동역학을 통해 난류로의 전이를 나타낸다.
• 결정론적 난류의 발생은 위상공간에서 접힘(Fig. 1a) 또는 콘ical 형성(Fig. 1c)의 생성과 기계적으로 연관되어 있으며, 이는 궤도가 늘어나고 접히면서 초기 조건에 대한 극도로 민감한 행동을 유도한다.