[논문 리뷰] Structure and minimal generating sets of Sylow 2-subgroups of alternating groups, properties of its commutator subgroup

Ruslan Skuratovskii|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 19.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 $A_{2^k}$ 및 $A_n$ 의 2-서일 부분군의 최소 생성집합을 구성하고 그 구조를 완전히 기술한다. 최소성과 교환자 폭을 증명하며, 와이어드 프로덕트 분해와 루트 트리 위의 자기동형사상 군 작용을 사용하여 이러한 부분군을 특성화한다. 이는 이전 연구에서 $p=2$ 인 경우의 비최소성과 완전하지 않은 구조 기술에 대한 간극을 해결한다. 주요 기여는 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 에 대한 완전하고 최소의 생성계를 제공하고, $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 의 수정된 유도 길이를 제시하는 것이다. 응용 분야로는 암호학과 기하군론이 포함된다.

ABSTRACT

In this article the investigation of Sylows p-subgroups of ${{A}_{n}}$ and ${{S}_{n}}$, which was started in article of U. Dmitruk, V. Suschansky "Structure of 2-sylow subgroup of symmetric and alternating group" and article of R.~Skuratovskii "Corepresentation of a Sylow p-subgroup of a group S_n" \cite{Dm, Sk, Paw} is continued. Let $Syl_2{A_{2^k}}$ and $Syl_2{A_{n}}$ be Sylow 2-subgroups of corresponding alternating groups $A_{2^k}$ and $A_{n}$. We find a least generating set and a structure for such subgroups $Sy{{l}_{2}}{{A}_{{{2}^{k}}}}$ and $Syl_2{A_{n}}$ and commutator width of $Syl_2{A_{2^k}}$ \cite{Mur}. The authors of \cite{Dm, Paw} didn't proof minimality of finding by them system of generators for such Sylow 2-subgroups of $A_n$ and structure of it were founded only descriptively. The purpose of this paper is to research the structure of a Sylow 2-subgroups and to construct a minimal generating system for such subgroups. In other words, the problem is not simply in the proof of existence of a generating set with elements for the Sylow 2-subgroup of alternating group of degree $2^k $ and proof its minimality. The main result is the proof of minimality of this generating set of the above described subgroups and also the description of their structure.

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 발견된 $A_n$ 과 $A_{2^k}$ 의 2-서일 부분군에 대한 비완전하고 비최소 생성집합 기술을 해결하기 위해.
• 건설된 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 와 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 의 생성집합의 최소성을 증명하기 위해.
• 와이어드 프로덕트 분해와 루트 트리 위의 자기동형사상 군 작용을 사용하여 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 와 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 의 군 구조를 완전히 기술하기 위해.
• 이전 문헌에서 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 의 유도 길이가 항상 $k$ 라고 잘못 주장한 것을 수정하여, $k=2$ 일 때는 1임을 보여주기 위해.
• 암호학과 기하군론 분야의 응용을 탐색하기 위해, 특히 키 공간 확장과 리브 그래프의 자기동형사상 포함.

제안 방법

• 정규 루트 이진 트리 $X^{[k]}$ 에 대한 자기동형사상의 작용을 사용하여 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 의 군 구조를 모델링한다.
• 정점의 순열(v.p.)을 정의하고, 상태가 자명하거나 활성화되었는지에 따라 정점에 0 또는 1을 레이블링하여 레이블이 부여된 트리 표현을 형성한다.
• 특히 수준 $k-1$ 에서 비자명한 v.p. 를 중심으로, 수준별로 활성 상태를 사용하여 생성자 $\alpha_i$ 와 $\beta$ 를 구성한다.
• 와이어드 프로덕트 구조 $C_2 \wr \cdots \wr C_2$ ($k-1$ 번 반복) 를 적용하여 $\mathrm{Aut}X^{[k-1]} \simeq B_{k-1}$ 를 모델링하고, 이는 짝수 순열로 작용한다.
• 마지막 수준의 상태에 대해 동치관계(식 7)를 도입하여 군을 짝수 순열로 제한하고, 이로써 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 을 모델링하는 $\boxtimes$ 프로덕트를 형성한다.
• 레전드르의 공식을 사용하여 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 의 순서가 $2^{n - m - 2}$ 임을 확인하고, 이는 구성된 생성집합의 순서와 일치함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 생성집합 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 는 무엇이며, 진정으로 최소인가?
• RQ2 특히 $n = 2^k$ 인 경우, $\mathrm{Syl}_2A_n$ 의 전체 구조는 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 정확한 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 의 유도 길이는 무엇이며, 이는 이전 연구에서 주장한 $k$ 와 어떻게 다를까?
• RQ4 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 은 모스 함수와 리브 그래프의 자기동형사상 군과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 구성된 생성집합을 사용하여 큰 키 공간을 가진 암호 기초 구조를 만들 수 있는가?

주요 결과

• 건설된 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 의 생성집합은 최소이며, 크기는 $2^{k-1} - k - 1 + 2^{k-2}$ 이고, 최소성은 엄밀하게 증명되었다.
• 구조적으로 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 는 $\mathrm{Syl}_2S_{2^{k_0}} \boxtimes \cdots \boxtimes \mathrm{Syl}_2S_{2^{k_m}}$ 의 몫군으로 완전히 기술되며, $\boxtimes$ 프로덕트는 마지막 수준 상태에 대한 동치관계를 통해 짝수 순열 작용을 강제한다.
• 순서 $\mathrm{Syl}_2A_n$ 는 $2^{n - m - 2}$ 이며, 레전드르의 공식을 통해 확인되었고, 구성된 군의 순서와 일치한다.
• 유도 길이 $\mathrm{Syl}_2A_{2^k}$ 는 이전에 주장한 바와 같이 $k$ 가 아니다. $k=2$ 일 때는 1이며, $\mathrm{Syl}_2A_4 \simeq K_4$ 는 아벨 군이기 때문이다.
• $\mathrm{Syl}_2A_n$ 은 $D^2$ 위의 모스 함수의 리브 그래프의 자기동형사상 군으로 작용하며, $\mathbb{Z}^m$ 과 항등사상과 동치인 미분구조의 동치류 군을 포함하는 짧은 정확수열이 존재한다.
• 생성집합은 서로 다른 생성집합과 대각 기저의 지수적 증가를 지원하여, 암호학에서 큰 키 공간 확장을 가능하게 한다.