[논문 리뷰] Structure and Semantics

Thomas Charles Avery|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 03.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대수적 이론들—예를 들어 Lawvere 이론, 모나드, 오르페드 등—을 통합하는 프로토이론을 소개한다. 아리티를 통해 구조-의미론의 수반을 수립하고, 완전한 위상적 프로토이론을 모나드의 일반화로 간주하여 의미론이 전사적이고 충실한 구조로 일반화하며, 군 이론에서 프로파인 군과 유사한 완전성 정리에 이를 달성한다.

ABSTRACT

There are many category-theoretic notions of algebraic theory, including Lawvere theories, monads, PROPs and operads. The first central notion of this thesis is a common generalisation of these, which we call a proto-theory. In order to define models of a proto-theory in a category, we need a way of relating the arities of the proto-theory with the objects of the category. This leads to our second central notion, that of an interpretation of arities, or aritation for short. We show that every aritation gives rise to a semantics functor sending proto-theories to models. In fact this functor always has an adjoint, giving a structure-semantics adjunction. Furthermore, we show that the semantics of proto-theories generalises the classical semantics of many existing notions of algebraic theory. Another aim of this thesis is to find a convenient category of monads in the following sense. Every right adjoint gives rise to a monad on its codomain, and more generally so does any functor that admits a codensity monad. However, not all functors have codensity monads. This means that the semantics functor for monads on a category, viewed as a functor into the category of all functors into the base category, does not have a left adjoint. We seek a generalisation of monads with a semantics functor that does have a left adjoint. This can be accomplished with proto-theories, but at a cost. The classical semantics functor for monads is full and faithful; this is a kind of completeness theorem, and is highly desirable in a notion of algebraic theory. However, the semantics functor for general proto-theories is not full and faithful. Thus we seek a generalisation of monads and their semantics for which the semantics functor is both full and faithful and has a left adjoint. We show that such a generalisation is given, for suitable base categories, by a certain kind of topological proto-theory.

연구 동기 및 목표

• 모나드, Lawvere 이론, PROPs, 오르페드 등 다양한 대수적 이론의 개념을 프로토이론을 통해 단일 프레임워크로 통합한다.
• 모나드의 한계를 해결하기 위해 의미론 함자를 전사적이고 충실하게 유지하는 일반화된 구조를 만들며, 이론에서 그 모델로의 정보 손실을 방지한다.
• 아리티(아리티제이션)를 통해 프로토이론의 의미론 함자를 정의하는 아리티를 사용하여 구조-의미론의 수반을 수립한다.
• 완전한 위상적 프로토이론이라는 프로토이론의 부분범주를 특성화하여, 이는 모나드를 일반화하면서도 전사적 충실성과 같은 바람직한 성질을 유지한다.
• 프로토이론과 군 사이의 유사성을 제시하며, 완전한 위상적 프로토이론이 프로파인 군과 유사하게 모나드가 유한 군과 유사하게 기능함을 보인다.

제안 방법

• 기존의 대수적 이론들—예를 들어, 법칙과 연산을 범주론적 프레임워크로 포괄하는 프로토이론을 정의한다.
• 기본 범주 내의 대상과 이론의 연산을 연결하는 아리티(아리티제이션)를 도입하여 의미론 함자를 정의할 수 있도록 한다.
• 아리티가 부여된 프로토이론의 범주에서 의미론 함자를 구성하며, 이 함자가 왼쪽 수반(즉, 구조 함자)을 지닌다는 것을 보여 구조-의미론의 수반을 형성한다.
• 모나드, Lawvere 이론, 기타 변형의 표준 의미론이 아리티의 적절한 선택에 의해 유도됨을 보인다.
• 완전한 위상적 프로토이론을 위상적 프로토이론의 전부인 부분범주로 정의하며, 이는 반사적 임bedding과 등급 수반 모나드를 특성화한다.
• 위상적 강화와 코디너시 모나드를 사용하여 의미론 함자가 전사적이고 충실함을 보장하며, 군 이론에서 프로파인 군의 특성과 유사한 완전성 결과를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모나드, Lawvere 이론, 오르페드 등 다양한 대수적 이론의 개념을 하나의 프레임워크로 통합할 수 있는가?
• RQ2 의미론 함자가 전사적이고 충실하여 이론에서 모델로의 정보 손실이 없는 모나드의 일반화가 존재하는가?
• RQ3 아리티와 프로토이론을 사용하여 모나드를 초월한 구조-의미론의 수반을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 어떤 위상적 및 범주론적 조건이 구조-의미론 수반 모나드가 등급이 되게 하여 완전한 위상적 프로토이론의 반사적 부분범주를 형성하게 하는가?
• RQ5 완전한 위상적 프로토이론은 프로파인 군의 특성과 유사하게, 코디너시 모나드의 대수로 또는 호의 공간의 위상적 성질을 통해 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 아리티를 통해 프로토이론의 구조-의미론 수반이 수립되었으며, 이는 모든 알려진 대수적 이론 변형의 의미론 함자를 일반화한다.
• 일반적인 프로토이론의 의미론 함자는 전사적이고 충실하지 않지만, 이 성질은 완전한 위상적 프로토이론의 부분범주에서 복원된다.
• 완전한 위상적 프로토이론은 위상적 프로토이론의 반사적 부분범주를 이룬다. 이는 구조-의미론 수반에 의해 생성된 등급 수반 모나드와 대응된다.
• 위상적 프로토이론에서의 구조-의미론 수반 모나드는 기저 범주에 적절한 조건이 만족될 경우, 모나드에서 위상적 프로토이론으로의 포함 함자의 코디너시 모나드로 식별된다.
• 완전한 위상적 프로토이론의 범주는 기저 범주에서 모나드로의 포함 함자의 코디너시 모나드의 대수로 특성화될 수 있을 것이라 추측되나, 아직 미해결 상태이다.
• 완전한 위상적 프로토이론이 컴 pact, 하우스도르프, 완전히 이산적인 호의 공간을 통해 특성화될 수 있다는 주장은 일반적으로 참이 아니며, 이는 대체적인 위상적 조건이 필요함을 시사한다.