[논문 리뷰] Structure formation in modified gravity models alternative to dark energy

K. Koyama|Portsmouth Research Portal (University of Portsmouth)|2006. 01. 10.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 수정 중력 모델에 대해 공변 중력 방정식을 개발하여, 보편적인 수정된 프리드만 방정식에 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} $ 보정 항을 재현한다. 이는 DGP 모델($ \alpha=1 $)과 LCDM($ \alpha\to0 $) 사이를 보간한다. 이는 구조 형성의 특성이 동일한 팽창 역사와 가진 어둠침 에너지 모델과 다름을 보여주며, 이러한 차이는 효과적인 에너지-모멘타 보정 $ E_{\mu\nu} $ 의 형태에 따라 결정되며, 관측 테스트를 가능하게 하기 위해 기초 이론으로부터 제약을 받아야 한다.

ABSTRACT

We study structure formation in phenomenological models in which the Friedmann equation receives a correction of the form $H^α/r_c^{2-α}$, which realize an accelerated expansion without dark energy. In order to address structure formation in these model, we construct simple covariant gravitational equations which give the modified Friedmann equation with $α=2/n$ where $n$ is an integer. For $n=2$, the underlying theory is known as a 5D braneworld model (the DGP model). Thus the models interpolate between the DGP model ($n=2, α=1$) and the LCDM model in general relativity ($n o \infty, α o 0$). Using the covariant equations, cosmological perturbations are analyzed. It is shown that in order to satisfy the Bianchi identity at a perturbative level, we need to introduce a correction term $E_{μν}$ in the effective equations. In the DGP model, $E_{μν}$ comes from 5D gravitational fields and correct conditions on $E_{μν}$ can be derived by solving the 5D perturbations. In the general case $n>2$, we have to assume the structure of a modified theory of gravity to determine $E_{μν}$. We show that structure formation is different from a dark energy model in general relativity with identical expansion history and that quantitative features of the difference crucially depend on the conditions on $E_{μν}$, that is, the structure of the underlying theory of modified gravity. This implies that it is essential to identify underlying theories in order to test these phenomenological models against observational data and, once we identify a consistent theory, structure formation tests become essential to distinguish modified gravity models from dark energy models in general relativity.

연구 동기 및 목표

• 현상학적 수정된 프리드만 방정식에 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} $ 보정 항을 재현하는 일관된 공변 중력 방정식을 구성하는 것.
• 이 모델들에서 비틀림 수준에서 바이언치 항등식이 유지되도록 우주론적 섭동을 분석하는 것.
• 고차원 물리학 또는 수정 중력에서 기인하는 효과적인 보정 텐서 $ E_{\mu\nu} $ 가 구조 형성에 어떻게 영향을 미치는지 규명하는 것.
• 관측적으로 수정 중력 모델과 어둠침 에너지 모델을 구별할 수 있는 조건이 $ E_{\mu\nu} $ 의 가정된 구조에 따라 결정된다는 것을 보여주는 것.
• 현상학적 수정 중력 모델을 데이터와 비교하기 위해 기초 이론을 규명하는 것이 필수적이라는 것을 강조하는 것.

제안 방법

• 정수 $ n $ 에 대해 $ \alpha = 2/n $ 인 경우, 수정된 프리드만 방정식 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} = H^2 - 8\pi G\rho/3 $ 을 유도하는 효과적인 공변 방정식을 유도한다.
• 비틀림 수준에서 바이언치 항등식이 유지되도록 보정 텐서 $ E_{\mu\nu} $ 를 도입한다.
• 에너지-모멘타 텐서 $ T_{\mu\nu} $ 의 다항함수로 표현된 효과적인 에너지-모멘타 텐서 $ {}^{(n)}\Pi_{\mu\nu} $ 의 명시적 형태를 $ n=5 $ 까지 구성한다.
• 균일하고 등방성 배경에서 계수를 고정하기 위해 대칭성 및 보존 조건(예: $ \nabla^\nu {}^{(n)}\Pi_{\mu\nu} = 0 $)을 적용한다.
• 밀도, 속도, 계량 섭동에 대한 섭동 방정식을 유도하며, $ \delta{}^{(n)}\Pi^{0}_{\>i} $ 와 $ \delta{}^{(n)}\Pi^{i}_{TT\;j} $ 에 중점을 두고 물리적 일관성을 확보하기 위한 제약 조건을 도입한다.
• 5차원 섭동에서 유도된 DGP 모델($ n=2 $)을 기준으로 $ E_{\mu\nu} $ 를 유도하고, 일관된 수정 중력 구조를 가정하여 $ n>2 $ 로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현상학적 수정된 프리드만 방정식에 $ H^\alpha / r_c^{2-\alpha} $ 보정 항을 재현할 수 있는 일관된 공변 중력 방정식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 효과적인 보정 텐서 $ E_{\mu\nu} $ 는 비틀림 분석 중에 바이언치 항등식을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 수정 중력 모델에서의 구조 형성은 동일한 팽창 역사를 가진 어둠침 에너지 모델과 어떻게 다를까?
• RQ4 물리적 일관성과 비물리적 모드를 방지하기 위해 $ E_{\mu\nu} $ 에 어떤 제약 조건을 가해야 하는가?
• RQ5 왜 수정 중력의 기초 이론을 규명하는 것이 현상학적 모델의 관측 테스트에 필수적인가?

주요 결과

• 효과적인 텐서 $ {}^{(n)}\Pi_{\mu\nu} $ 는 정규화를 제외하고는 완전히 결정되며, $ {}^{(n)}\Pi^{\mu}_{\>\nu} = C_n \begin{pmatrix} -\rho^n & 0 \\ 0 & \big[(n-1)\rho^n + nP\rho^{n-1}\big]\delta^i_j \end{pmatrix} $ 로 표현되며, 이는 바이언치 항등식이 자동으로 만족됨을 보장한다.
• 섭동에서 $ \delta{}^{(n)}\Pi^{0}_{\>i} $ 성분은 $ nC_n \rho^{n-1} \delta q_{,i} $ 와 비슷한 스케일을 가지며, 밀도와 속도 섭동에 민감함을 보여준다.
• 횡방향-트레이스리스 성분 $ \delta{}^{(n)}\Pi^{i}_{TT\;j} $ 는 $ f_n(\rho,P)\delta\pi^i_j $ 와 비례하며, $ f_n(\rho,P) = C_n \left[ n\left(-\frac{3}{2}n + \frac{5}{2}\right)\rho^{n-1} - \frac{3}{2}n(n-1)\rho^{n-2}P \right] $ 로 유도되며, 일관성 조건을 적용함으로써 도출된다.
• $ n=4 $ 인 경우 $ f_4(\rho,P) = -C_4(14\rho^3 + 18\rho P) $ 이고, $ n=5 $ 인 경우 $ f_5(\rho,P) = -C_5(25\rho^4 + 30\rho^3 P) $ 이며, 이는 일반 공식을 확인한다.
• 이 모델에서의 구조 형성은 동일한 팽창 역사를 가진 어둠침 에너지 모델과 다름을 보이며, 이러한 차이의 성격은 $ E_{\mu\nu} $ 의 형태에 따라 결정되며, 이는 이론적으로 의존한다.
• 논문은 현상학적 수정 중력 모델의 관측 테스트를 위해서는 기초 이론을 규명하는 것이 필수적이며, $ E_{\mu\nu} $ 가 섭동의 물리적 행동을 결정한다는 결론을 내린다.