[논문 리뷰] Structure of $A(\infty)$-algebra and Hochschild and Harrison cohomology

Tornike Kadeishvili|ArXiv.org|2002. 10. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 미분 대수의 호모로지 위에 정의된 $A(∞)$-대수의 구조의 비가역성과 Hochschild 및 Harrison 코homology의 소멸 사이의 정확한 연결고리를 설정한다. 만약 $n \geq 3$에 대해 Hochschild 코homology $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C)) = 0$이면, $H(C)$ 위의 모든 $A(\infty)$-구조는 자명하다는 것을 증명하며, 이는 Harrison 코homology를 통해 교환 가능 $A(\infty)$-구조의 경우에도 동일하게 적용된다. 이는 유리수 호모토피 이론과 변형 이론에서 비자명한 고차 연산의 존재에 대한 코homological 장벽을 제공한다.

ABSTRACT

Stasheff's $A(\infty)$-algebra $(M,\{m_i:\otimes^iM o M, i=1,2,3,...\})$ in fact is a DG-algebra $(M,m_1,m_2)$ with not necessarily associative product $m_2$ but this nonassociativity is measured by higher homotopies $m_{i>2}$. Nevertheless such structure arises in the strictly associative situation too, namely in the homology algebra $H(C)$ of a DG-algebra $C$ with free $H_i(C)$-s, particularly in the cohomology algebra $H^*(X,Λ)$ of a topological space $X$. It is clear that the $A(\infty)$-algebra $(H^*(X,Λ),\{m_i\})$ carries more information than the cohomology algebra $H^*(B,Λ)$. Naturally arises a question when this structure is degenerate, that is when an $A(\infty)$-algebra $(M, \{m_i\})$ is isomorphic to one with higher operations $m_i, i\geq 3$ trivial? In this paper we introduce the obstructions for such degeneracy. Namely, operations $\{m_i\}$ we interpret as Hochschild twisting cochain $m=m_3+m_4+..., m_i\in C^n(M,M)$ satisfying $δm=m\smile_1m$ where $\smile_1$ is Gerstenhabers product in $C^*(M,M)$. Using the generalized product $f\smile_1(g_1,...,g_k)$ we define perturbations of Hochschild twisting cochains (i.e. of $A(\infty)$ structures) and in particular prove that if for a graded algebra $(M,μ)$ all Hochschild cohomologies $Hoch^{n,2-n}(M,M)=0$ for $n\geq3$ then any $A(\infty)$-algebra structure $\{m_i\}$ on $M$ with $m_1=0, m_2=μ$, is degenerate.

연구 동기 및 목표

• 미분 대수의 호모로지 위에 정의된 $A(\infty)$-대수의 구조가 자명해지는 조건(즉, 모든 고차 연산 $m_i$가 $i \geq 3$일 때 0이 되는 조건)을 규명하는 것.
• 호모로지 대수의 Hochschild 코homology를 통해 $A(\infty)$-구조의 자명성에 대한 코homological 기준을 설정하는 것.
• 교환 가능 $A(\infty)$-대수의 경우 Harrison 코homology를 사용하여 이 기준을 확장하는 것.
• 코homology 대수를 통한 $A(\infty)$-구조와 공간의 유리수 호모토피 유형 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• twisting cochain 체계를 사용하여 $A(\infty)$-구조를 Hochschild 코체인 복합체의 원소로 해석하고, $\delta m = m \smile_1 m$를 만족시킴.
• $m_1 = 0$이고 $m_2$가 고정된 $A(\infty)$-대수의 범주 $A^0(\infty)$를 정의하고, 이러한 구조의 동치류 집합과 $Tw(M,M)$ 내의 twisting cochain 집합 사이의 전단사 사상 수립.
• bar construction $\tilde{B}(M,\{m_i\})$를 적용하여 $A(\infty)$-대수와 DG-코알제브라 간의 관계를 설정하고, 사상과 구조를 유지함.
• shuffling 곱에 대해 $m_i$가 0이 되도록 요구하여 교환 가능 $A(\infty)$-대수의 개념을 도입하고, DG-Hopf 대수의 구조를 이룸.
• Gerstenhaber의 $\smile_1$ 곱을 사용하여 Hochschild 코경계와 코homology를 정의하고, $A(\infty)$-구조의 동치성과 코체인의 동치성을 연결함.
• 교환 가능 경우에 대해 Harrison 복합체에 bar construction을 적용하여, 교환 가능 $A(\infty)$-대수의 사상이 DG-Hopf 대수의 사상으로 유도됨을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 코homological 조건에서, 미분 대수의 호모로지 위에 정의된 모든 $A(\infty)$-구조가 자명해지는가?
• RQ2 Hochschild 코homology $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C))$가 $n \geq 3$에 대해 소멸할 경우, 이는 왜 $H(C)$ 위의 모든 $A(\infty)$-구조가 자명해지는가?
• RQ3 그라디드 교환 가능 대수 위에서 교환 가능한 $A(\infty)$-구조의 자명성에 대한 유사한 코homological 기준은 무엇인가?
• RQ4 $A(\infty)$-구조는 유리수 코homology 대수와 어떻게 관련되어 있으며, 이는 공간의 유리수 호모토피 유형에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $A(\infty)$-구조의 동치성과 Hochschild 코hom로의 twisting cochain의 동치성 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 3$에 대해 $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C)) = 0$이면, $H(C)$ 위의 모든 $A(\infty)$-구조는 $i \geq 3$일 때 $m_i = 0$인 자명한 구조와 동치가 된다.
• 모든 $m_1 = 0$인 그라디드 대수 $(M,\mu)$ 위의 $A(\infty)$-구조의 동치류 집합은 $Tw(M,M)$ 내의 twisting cochain 집합과 전단사이다.
• 교환 가능한 $A(\infty)$-구조의 경우에도 동일한 결과가 성립한다: $n \geq 3$에 대해 $Harr^{n,2-n}(M,M) = 0$이면, 모든 이러한 구조는 자명하다.
• bar construction $\tilde{B}(M,\{m_i\})$는 $A(\infty)$-대수에서 DG-코알제브라로 가는 함자이며, $A(\infty)$-대수의 사상은 이러한 DG-코알제브라의 사상으로 유도된다.
• 교환 가능한 경우 bar construction은 DG-Hopf 대수를 생성하며, 교환 가능한 $A(\infty)$-대수의 사상은 DG-Hopf 대수의 사상으로 유도된다.
• 자명한 $A(\infty)$-구조는 영 twisting cochain에 대응하며, 비자명한 모든 구조는 $Tw(M,M)$ 내의 비영인 twisting cochain에서 유래한다.