[논문 리뷰] Structure of Noncommutative Fock space

Sicong Jing, Qiuyu Liu외 1명|2005. 05. 05.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 좌표-좌표 및 운동량-운동량 비대칭성 모두가 존재하는 비어스위치에서 동일한 보스온의 비교환 Fock 공간의 구조를 조사한다. 표준 Fock 공간과 달리, 서로 다른 자유도에 대한 수량 연산자들이 서로 비가환적이므로 공통 고유벡터를 갖지 못한다; 그러나 스키프트 수직화를 통해 정규직교 기저를 구성하였고, 이중 차원 코herent 상태를 명시적으로 구축하여 좌표-운동량 불확정성 관계는 포화되나 좌표-좌표 및 운동량-운동량 관계는 포화되지 않음을 보였다.

ABSTRACT

The structure of the state-vector space of identical bosons in noncommutative spaces is investigated. To maintain Bose-Einstein statistics the commutation relations of phase space variables should simultaneously include coordinate-coordinate non-commutativity and momentum-momentum non-commutativity, which lead to noncommutative Fock space. By this we mean that creation and annihilation operators corresponding to different degrees of freedom of the bosons do not commute each other. The main character of the noncommutative Fock space is there are no ordinary number representations because of the non-commutativity between different number operators. However, eigenvectors of several pairs of commuting Hermitian operators are obtained which can also be served as bases in this Fock space. As a simple example, an explicit form of two-dimensional canonical coherent state in this noncommutative Fock space is constructed and its properties are discussed.

연구 동기 및 목표

• 비가환 공간에서 좌표와 운동량의 비가환성 모두를 포함한 동일한 보스온에 대한 Fock 공간의 구조를 이해하기 위해.
• 비가환 수량 연산자로 인해 일반적인 수량 상태 표현이 붕괴되는 이유를 다루기 위해.
• Schmidt 수직화를 사용하여 비가환 Fock 공간에서 정규직교적이고 완전한 기저를 구성하기 위해.
• 이 비가환 프레임워크에서 이중 차원 캐논리컬 코herent 상태를 정의하고 분석하기 위해.
• 구성된 코herent 상태에서 불확정성 관계의 행동을 검토하기 위해.

제안 방법

• 비가환 위상공간 대수식(식 1)에서 생성 및 소멸 연산자를 유도하여 좌표와 운동량의 비가환성을 통합하기 위해.
• 수량 연산자 $\hat{N}_a$ 및 $\hat{N}_b$를 정의하고, 이들이 서로 비가환적이므로 동시에 고유벡터를 가질 수 없음을 보여주기 위해.
• 비가환 Fock 공간에서 변형 매개변수 $\theta$의 1차까지의 근사에서, Schmidt의 수직화 방법을 적용하여 정규직교적이고 완전한 기저를 구성하기 위해.
• 비가환 대수적 관계를 사용하여 이중 차원 캐논리컬 코herent 상태 $|\alpha, \beta\rangle$를 구축하기 위해.
• 코herent 상태에서 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{p}_x, \hat{p}_y$의 분산과 불확정성 관계를 계산하여 불확정성 한계의 포화 여부를 평가하기 위해.
• 비가환성을 $[\hat{x}, \hat{y}] = i\theta/(m\omega)$ 및 $[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = i m\omega \theta$로 표현하기 위해 매개변수 $\theta$를 사용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 좌표-좌표 및 운동량-운동량 비가환성의 동시 존재가 동일한 보스온의 Fock 공간의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 비가환 수량 연산자로 인해 일반적인 수량 상태가 비가환 Fock 공간에서 기저로 기능하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 수량 연산자의 공통 고유벡터가 없음에도 불구하고 비가환 Fock 공간에서 정규직교적이고 완전한 기저를 구성할 수 있는가?
• RQ4 비가환 Fock 공간의 코herent 상태에서 좌표-운동량 쌍의 허이젠베르크 불확정성 원리가 포화되는가?
• RQ5 비가환 매개변수들은 표준 좌표-운동량 경계를 초월하여 불확정성 관계에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수량 연산자 $\hat{N}_a$ 및 $\hat{N}_b$는 서로 비가환적이므로 공통 고유벡터가 존재하지 않으며, 이는 표준 Fock 공간 기저의 무효화를 의미한다.
• Schmidt 수직화를 통해 정규직교적이고 완전한 기저가 구성되었으며, 이 기저는 $\hat{N}_a + \hat{N}_b - \theta \hat{L}$ 및 $\hat{N}_a$ 또는 $\hat{N}_b$의 동시에 고유벡터이다.
• 이중 차원 캐논리컬 코herent 상태 $|\alpha, \beta\rangle$가 명시적으로 구성되었고, 이들이 과잉완전함을 보였다.
• 코herent 상태에서 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{p}_x, \hat{p}_y$의 분산은 각각 $\frac{1}{2m\omega}, \frac{1}{2m\omega}, \frac{m\omega}{2}, \frac{m\omega}{2}$이며, $\theta$에 무관하다.
• 좌표-운동량 불확정성 관계 $\triangle \hat{x} \triangle \hat{p}_x = \frac{1}{2}$ 및 $\triangle \hat{y} \triangle \hat{p}_y = \frac{1}{2}$는 포화되었지만, 좌표-좌표 및 운동량-운동량 관계는 포화되지 않았다.
• 이 결과는 이전에 비가환 양자역학에서 오직 하나의 불확정성 관계만 포화될 수 있다고 주장한 바와 모순되며, 이는 이중 비가환성이 동시에 두 개의 관계를 포화시킬 수 있음을 보여준다.