[논문 리뷰] Structure of the largest idempotent-free sequences in finite semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 24.

semigroups and automata theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한 반군에서 최장의 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않는 수열의 구조를 규명하며, Gillam, Hall, Williams의 1972년 결과를 확장하여 자연 순서에서 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않는 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$의 수열의 정확한 형태를 규명한다. 이는 아벨이 아니거나 군이 아닌 설정으로 일반화된 고전적 Davenport 상수를 일반화하는 반군에 대한 새로운 구조적 상수를 도입한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a finite semigroup, and let $E(\mathcal{S})$ be the set of all idempotents of $\mathcal{S}$. Gillam, Hall and Williams proved in 1972 that every $\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length at least $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is not (strongly) idempotent-product free, in the sense that it contains a nonempty subsequence the product of whose terms, in their natural order in $T$, is an idempotent, which affirmed a question of Erdős. They also showed that the value $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is best possible. Here, motivated by Gillam, Hall and Williams' work, we determine the structure of the idempotent-product free sequences of length $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ when the semigroup $\mathcal{S}$ (not necessarily finite) satisfies $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ is finite, and we introduce a couple of structural constants for semigroups that reduce to the classical Davenport constant in the case of finite abelian groups.

연구 동기 및 목표

• 유한 반군에서 가능한 최대 길이를 가진 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않는 수열의 정확한 구조를 규명하는 것.
• 새로운 구조적 불변량을 통해 고전적 Davenport 상수를 아벨이 아니거나 군이 아닌 반군으로 일반화하는 것.
• Gillam, Hall, Williams의 1972년 결과인 아이디포텐트 부분수열 곱을 보장하는 임계 길이를 일반화하는 것.
• 자연 순서에서 아이디포텐트 곱을 포함하지 않는 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$의 수열을 규명하는 것.
• 유한 아벨 군의 경우 Davenport 상수가 복원되는 새로운 상수를 도입하고 분석하는 것.

제안 방법

• 비아이디포텐트 원소들의 집합이 유한한 반군 내 수열의 구조를 분석하는 것.
• 자연 순서에서의 수열 곱의 프레임워크를 사용하여 아이디포텐트 곱이 반드시 나타나는 조건을 규명하는 것.
• 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않는 수열의 최대 길이를 측정하는 두 가지 새로운 반군 구조 상수를 도입하는 것.
• 이러한 수열의 최대 길이가 정확히 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$임을 증명하고, 그 구조를 규명하는 것.
• 이 상수가 특정한 유한 아벨 군에 제한될 경우 고전적 Davenport 상수로 축소됨을 확립하는 것.
• 아이디포텐트 곱을 포함하지 않는 수열에 대한 구조적 제약을 유도하기 위해 조합론적 및 반군 이론적 기법을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 반군에서 최장의 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않는 수열의 정확한 구조는 무엇인가요?
• RQ2 비아이디포텐트 원소들의 집합이 유한할 때, 최대 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않는 수열은 어떻게 행동합니까?
• RQ3 아벨이 아니거나 군이 아닌 설정으로 일반화된 Davenport 상수를 일반화하는 반군에 대해 정의할 수 있는 구조적 상수는 무엇인가요?
• RQ4 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$인 수열이 자연 순서에서 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않도록 하기 위한 조건은 무엇인가요?
• RQ5 이러한 새로운 상수들이 유한 아벨 군의 경우 고전적 Davenport 상수와 어떻게 관련이 있나요?

주요 결과

• 비아이디포텐트 원소들의 집합이 유한한 반군 $\mathcal{S}$에서 아이디포텐트 곱을 가진 부분수열을 포함하지 않는 수열의 최대 길이는 정확히 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$이다.
• 이러한 최대 길이의 수열들은 모두 반군 $\mathcal{S}$의 비아이디포텐트 원소들 내에서의 조합에 따라 완전히 규명된다.
• 이 논문은 아벨이 아니거나 군이 아닌 설정으로 일반화된 Davenport 상수를 일반화하는 두 가지 새로운 반군 구조 상수를 도입한다.
• 이 상수들은 반군이 유한 아벨 군일 경우 고전적 Davenport 상수로 축소된다.
• 최대 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$에 도달하는 수열의 구조는 매우 제약이 있으며, 모든 항이 $\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})$에 속해 있음을 보여준다.
• Gillam, Hall, Williams의 임계 길이 $|\mathcal{S}| - |E(\mathcal{S})| + 1$이 최적이며, 본 논문은 이 임계값 이하의 수열에 대한 완전한 구조적 기술을 제공한다.