[논문 리뷰] Structure of the largest idempotent-product free sequences in semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 24.

semigroups and automata theory참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비단일원소 원소의 집합이 유한한 반군에서 가장 긴 단일원소곱 자유 서열의 구조를 기술한다. 이는 Gillam, Hall, Williams의 1972년 결과를 확장하여, 길이가 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$인 강한 단일원소곱 자유 서열의 정확한 형태를 규명하고, 반군 이론에서 다베너스 상수와 에르되시-버거스 상수를 일반화하는 새로운 구조적 상수를 도입한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a finite semigroup, and let $E(\mathcal{S})$ be the set of all idempotents of $\mathcal{S}$. Gillam, Hall and Williams proved in 1972 that every $\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length at least $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is not (strongly) idempotent-product free, in the sense that it contains a nonempty subsequence the product of whose terms, in their natural order in $T$, is an idempotent, which affirmed a question of Erdős. They also showed that the value $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is best possible. Here, motivated by Gillam, Hall and Williams' work, we determine the structure of the idempotent-product free sequences of length $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ when the semigroup $\mathcal{S}$ (not necessarily finite) satisfies $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ is finite, and we introduce a couple of structural constants for semigroups that reduce to the classical Davenport constant in the case of finite abelian groups.

연구 동기 및 목표

• 비단일원소 원소의 집합이 유한한 반군 $\mathcal{S}$에서 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$인 강한 단일원소곱 자유 서열의 구조를 규명하는 것.
• 기존의 다베너스 상수와 에르되시-버거스 상수를 일반화하는 반군에 대한 새로운 구조적 상수를 도입하고 분석하는 것.
• Gillam, Hall, Williams의 역문제를 해결하기 위해 $\textsc{SI}(\mathcal{S}) = |\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$가 성립하는 조건을 규명하는 것.
• 교환 법칙을 만족하는 반군에서 에르되시-버거스 상수 $\textsc{I}(\mathcal{S})$와 다베너스 상수 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ 사이의 관계를 탐구하는 것.
• 반군 $\mathcal{S}$에 대해 $\textsc{I}(\mathcal{S})$와 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$가 유한한지 여부와 그 상호 등식이 성립하는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 조사하는 것.

제안 방법

• 제로합 이론의 프레임워크와 반군 내 서열의 곱 연산을 사용하여, 서열을 자유 모노이드 $\mathcal{F}(\mathcal{S})$의 원소로 정의한다.
• 약한 및 강한 단일원소곱 자유 서열의 개념을 도입하여, 어떤 순서로든 부분서열의 곱이 단일원소가 되지 않는 경우를 다룬다.
• Gillam, Hall, Williams의 논증을 일반화하여, 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$인 임의의 서열은 강한 단일원소곱 자유 서열일 수 없음을 보인다.
• 곱집합의 변화를 추적하기 위해 $\lambda_T(x) = |\prod(T \cdot x) \setminus \prod(T)|$를 통해 서열의 다중도 및 곱의 구조를 분석한다.
• 단일원소곱을 생성하지 않는 최대 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$의 서열에 대한 구조적 제약 조건을 확립한다.
• 예시를 제안하고 분석하여 $\textsc{I}(\mathcal{S})$와 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$를 구분하고, $\textsc{I}(\mathcal{S})$의 유한성이 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$의 유한성을 보장하지 못함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비단일원소 원소의 집합이 유한한 반군 $\mathcal{S}$에서 길이 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$인 강한 단일원소곱 자유 $\mathcal{S}$-값 서열의 구조는 무엇인가?
• RQ2 $\textsc{SI}(\mathcal{S}) = |\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 교환 법칙을 만족하는 반군에서 에르되시-버거스 상수 $\textsc{I}(\mathcal{S})$와 다베너스 상수 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 $\textsc{I}(\mathcal{S})$와 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$가 유한한 데 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 $\textsc{I}(\mathcal{S}) = \textsc{SI}(\mathcal{S})$가 성립하는 경우는 언제이며, 그러한 반군의 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 비단일원소 원소의 집합이 유한한 반군 $\mathcal{S}$에서 강한 단일원소곱 자유 서열의 최대 길이는 정확히 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$이다.
• 이 논문은 이러한 최대 길이 서열의 구조를 완전히 기술하여, 이들은 특정한 곱 제약 조건을 만족하는 비단일원소 원소들로만 구성되어야 한다고 보여준다.
• 교환 법칙을 만족하는 반군에서 에르되시-버거스 상수 $\textsc{I}(\mathcal{S})$와 다베너스 상수 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$는 다를 수 있으며, $\textsc{I}(\mathcal{S}) < \mathsf{D}(\mathcal{S})$ 또는 $\textsc{I}(\mathcal{S}) > \mathsf{D}(\mathcal{S})$의 경우가 모두 가능하다.
• 일부 반군에서는 $\textsc{I}(\mathcal{S})$는 유한하지만 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$는 무한하므로, 두 상수가 동치가 아니라는 것을 보여주는 예가 존재한다.
• 강한 단일원소곱 자유 서열이 존재하지 않는 데 있어 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$의 경계는 최적임을 확인하여 결과의 날카로움을 입증한다.
• 이 논문은 다베너스 상수를 일반화하는 새로운 구조적 상수를 도입하여, 비군 반군에서 제로합 문제와 단일원소곱 문제를 연구할 수 있는 프레임워크를 제공한다.