[논문 리뷰] Structured Cospans

John C. Baez, Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 12.

Topological and Geometric Data Analysis인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 입력과 출력을 가진 개방형 네트워크—예를 들어 전기 회로, 페트리 넷, 화학 반응 네트워크—를 모델링하기 위한 프레임워크로 구조화된 코스팬을 소개한다. L: A → X라는 함자와 cospans L(a) → x ← L(b)를 구성함으로써, 저자들은 A와 X가 유한 쌍대극한을 가지며 L이 이를 보존할 경우 구조화된 코스팬이 대칭 모나드 이중 범주를 이룬다는 것을 보여주며, 네트워크 조합 및 모델링을 위한 더 구조적이고 영리한 장치를 제공한다.

ABSTRACT

One goal of applied category theory is to better understand networks appearing throughout science and engineering. Here we introduce "structured cospans" as a way to study networks with inputs and outputs. Given a functor $L \colon \mathsf{A} o \mathsf{X}$, a structured cospan is a diagram in $\mathsf{X}$ of the form $L(a) ightarrow x \leftarrow L(b)$. If $\mathsf{A}$ and $\mathsf{X}$ have finite colimits and $L$ is a left adjoint, we obtain a symmetric monoidal category whose objects are those of $\mathsf{A}$ and whose morphisms are isomorphism classes of structured cospans. This is a hypergraph category. However, it arises from a more fundamental structure: a symmetric monoidal double category where the horizontal 1-cells are structured cospans. We show how structured cospans solve certain problems in the closely related formalism of "decorated cospans", and explain how they work in some examples: electrical circuits, Petri nets, and chemical reaction networks.

연구 동기 및 목표

• 입력과 출력을 가진 개방형 네트워크를 더 직관적이고 영리한 프레임워크로 모델링하기 위해.
• 등가류를 다루는 데서의 한계와 구조적 세부 정보를 처리하는 데서의 한계를 해결하기 위해.
• 고차 범주적 환경에서 구조화된 코스팬을 사용하여 네트워크 조합과 텐서 곱을 형식화하기 위해.
• 전기 회로, 페트리 넷, 화학 반응 네트워크와 같은 구체적 시스템에 프레임워크의 적용 가능성을 입증하기 위해.
• 구조화된 코스팬이 대칭 모나드 이중 범주로 정립되어 조합적 추론이 일관성과 모듈성과 함께 가능하게 되도록 하기 위해.

제안 방법

• 함자 L: A → X에 따라 범주 X 내의 다이어그램 L(a) → x ← L(b)로 구조화된 코스팬을 정의한다.
• A의 객체들, A의 수직 사상들, 수평 1-세포들로 구조화된 코스팬들, 그리고 2-세포들로 교차하는 도형들로 구성된 이중 범주 LCsp(X)를 구성한다.
• A와 X가 유한 쌍대극한을 가지며 L이 이를 보존할 경우 LCsp(X)가 대칭 모나드 이중 범주가 된다는 것을 보인다.
• X 내의 피쉬아웃의 구조를 이용하여 구조화된 코스팬의 수평 조합이 잘 정의됨을 보장한다.
• 구조화된 코스팬의 등가류로 이루어진 범주는 구체적으로 초그래프 범주이며, 네트워크의 조합적 모델링을 가능하게 한다.
• 구조화된 코스팬과 장식된 코스팬을 비교하여, 실제 코스팬을 등가류가 아닌 그 자체로 다루므로 구조적 세부 정보를 더 잘 유지하고 등가류의 복잡성을 피한다는 점에서의 이점들을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구조화된 코스팬은 장식된 코스팬에 비해 개방형 네트워크 모델링에 더 자연스럽고 영리한 대안을 어떻게 제공할 수 있는가?
• RQ2 페트리 넷과 전기 회로와 같은 개방형 네트워크의 조합과 텐서 곱에 기반하는 범주론적 구조는 무엇인가?
• RQ3 입력과 출력이 동일시될 때 네트워크 조합의 일관성은 어떻게 다루어지는가?
• RQ4 구조화된 코스팬은 등가류를 다루는 장식된 코스팬보다 네트워크의 내부 구조를 어떻게 더 잘 유지하는가?
• RQ5 함자 L: A → X에 대해 어떤 조건이 구조화된 코스팬이 대칭 모나드 이중 범주를 이룬다는 것을 보장하는가?

주요 결과

• A와 X가 유한 쌍대극한을 가지며 L: A → X가 이를 보존할 경우 구조화된 코스팬은 대칭 모나드 이중 범주를 이룬다.
• 구조화된 코스팬의 등가류로 이루어진 범주는 초그래프 범주이며, 네트워크의 조합적 모델링을 가능하게 한다.
• 등가류가 아닌 실제 코스팬을 직접 다룸으로써 장식된 코스팬이 지닌 구조적 모호성을 피하는 방법을 제공한다.
• 이 방법은 전기 회로와 화학 반응 네트워크와 같은 시스템에서 순차적 조합과 병렬 텐서 곱 모두를 지원한다.
• 이 구성은 함자적이며 일반적이며, 페트리 넷과 반응 네트워크를 포함한 다양한 네트워크 유형에 적용 가능하다.
• 이중 범주를 사용함으로써 수직 조합에 대해 엄격한 결합법칙이 보장되고 수평 조합에 대해 일관성 있는 조합이 가능해져 범주론적 관리가 용이해진다.