[논문 리뷰] Structured $H_\infty$-Optimal Control for Nested Interconnections: A State-Space Solution

Carsten W. Scherer|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 08.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 블록 상삼각형 구조를 가진 중첩 상호연결에 대한 직접적인 LMI 기반 상태공간 해법을 제시한다. 이는 사전에 고정된 컨트롤러 차수와 차원을 가능하게 하며, Riccati 기반 접근법과 Youla 매개변수화의 한계를 극복한다. 이는 이 맥락에서 최초로 정확한 최적 합성에 도달한다.

ABSTRACT

If imposing general structural constraints on controllers, it is unknown how to design $H_\infty$-controllers by convex optimization. Under a so-called quadratic invariance structure of the generalized plant, the Youla parametrization allows to translate the structured synthesis problem into an infinite-dimensional convex program. Nested interconnections that are characterized by a standard plant with a block-triangular structure fall into this class. Recently it has been shown how to design optimal $H_2$-controllers for such nested structures in the state-space by solving algebraic Riccati equations. In the present paper we provide a state-space solution of the corresponding output-feedback $H_\infty$ synthesis problem without any counterpart in the literature. We argue that a solution based on Riccati equations is - even for state-feedback problems - not feasible and we illustrate our results by means of a simple numerical example.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 구조적 제약 조건 하에서 $H_\infty$-최적 제어를 위한 직접적인 상태공간 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 구조적 $H_\infty$ 문제에 있어서, 심지어 상태피드백 설정에서도 Riccati 방정식 접근법이 비가능한 이유를 해결하기 위해.
• 블록-삼각형 구조를 가진 출력피드백 $H_\infty$ 제어를 위한 볼록적이고 수치적으로 다룰 수 있는 해법을 제공하기 위해.
• 반복적 보정 또는 고차원 부분공간을 피하기 위해, 사전에 컨트롤러 차수와 문제 차원을 지정할 수 있도록 하기 위해.
• 구조적 중첩 상호연결에 대해 $H_2$-최적 상태공간 해법을 $H_\infty$-최적 제어로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 하향 블록-삼각형 제어 채널과 중첩 상호연결 구조를 가진 일반화된 플랜트를 사용하여 구조적 $H_\infty$ 제어 문제를 수립한다.
• 요구되는 컨트롤러 구조를 강제하기 위해, 투영 렘마의 구조적 변형을 적용하여 볼록적인 LMI 설정을 유도한다.
• McMillan 차수를 일반화된 플랜트의 차수를 초월하는 컨트롤러 설계 프레임워크를 도입함으로써, 추가 동적 요소를 통해 구조 강제를 가능하게 한다.
• 고정된 차원을 가진 유한 차원 LMI 시스템을 풀어 컨트롤러를 구성함으로써, 계산의 타당성과 사전에 컨트롤러 차수의 경계를 확보한다.
• Youla 매개변수화에 의존하지 않고, 수렴성 및 차원 문제를 피하기 위해 LMI 프레임워크를 활용한다.
• 수치 예제를 통해 비구조적 컨트롤러와 점차 증가하는 확장 길이를 가진 Youla 매개변수화 설계와의 비교를 통해 방법의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블록-삼각형 구조를 가진 중첩 상호연결에 대해, 직접적인 상태공간 해법을 통해 $H_\infty$-최적 출력피드백 제어를 개발할 수 있는가?
• RQ2 볼록 최적화를 통해 사전에 고정된 차수와 차원을 가진 구조적 $H_\_\infty$ 컨트롤러를 설계할 수 있는가?
• RQ3 왜 이 구조적 설정에서 조차도 Riccati 방정식 기반 접근법이 비가능한가?
• RQ4 플랜트의 McMillan 차수를 초월하여 컨트롤러 동적 구조를 확장하여 구조적 제약 조건을 강제할 수 있는가?
• RQ5 LMI 프레임워크를 사용하여 반복적인 Youla 매개변수화에 의존하지 않고 정확한 최적성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 LMI 기반 방법은 블록-삼각형 구조 하에서 $H_\infty$-최적 출력피드백 제어에 대해 최초로 직접적인 상태공간 해법을 제공하며, 이에 해당하는 이전의 유사한 결과는 문헌에 존재하지 않는다.
• 최적 컨트롤러는 $n$이 플랜트의 차수이고 $p$가 중첩 블록의 수일 때, 최대 $np$의 McMillan 차수로 구성될 수 있으며, 이는 $H_2$-최적 합성에서 알려진 경계와 일치한다.
• 이 방법은 사전에 컨트롤러 차수와 문제 차원을 지정할 수 있도록 하여, Youla 기반 접근법에서 사용되는 반복적 부분공간 확장의 필요성을 피한다.
• 수치 결과는 새로운 방법이 비구조적 컨트롤러와 동일한 최적의 $H_\infty$ 성능($\gamma_{\rm full} = \gamma_{\rm str}$)을 달성하면서도 구조적 제어 법칙을 유지함을 보여준다.
• 특히 $G^2_-$의 경우, $l=8$일 때 Youla 매개변수화는 $\rho \in [-0.2, 0]$에서 나쁜 근사 품질을 보이며, 반면 새로운 방법은 더 낮은 계산 비용으로 정확한 최적성을 달성한다.
• 특히 $G^2_+$에서 $\gamma_{\rm str} > \gamma_{\rm full}$이며, $l=8$일 때도 Youla 근사 오차가 여전히 유의미하게 큰 점을 감안할 때, 이 방법은 정확도와 계산 시간 측면에서 Youla 기반 설계를 능가한다.