[논문 리뷰] Structured Semidefinite Representation of Some Convex Sets

J. William Helton, Jiawang Nie|ArXiv.org|2008. 02. 13.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항부등식으로 정의된 볼록집합에 대해 sos-볼록성과 양의 곡률 조건을 활용하여 명시적이고 구조화된 정수형프로그래밍(SDP) 표현을 제시한다. 이는 이러한 집합을 고차원 LMI-표현 가능한 형태로 올리는 구성 가능한 방법을 제공하며, 표준 SDP 솔버를 통한 효율적 최적화를 가능하게 한다. 주요 결과로는 sos-볼록성 또는 양의 곡률 조건이 만족될 경우 SDP 표현 가능성이 보장됨을 보여준다.

ABSTRACT

Linear matrix Inequalities (LMIs) have had a major impact on control but formulating a problem as an LMI is an art. Recently there is the beginnings of a theory of which problems are in fact expressible as LMIs. For optimization purposes it can also be useful to have "lifts" which are expressible as LMIs. We show here that this is a much less restrictive condition and give methods for actually constructing lifts and their LMI representation.

연구 동기 및 목표

• LMI 집합의 사영으로서 어떤 볼록집합이 정수형프로그래밍(SDP) 표현을 갖는지에 대한 열린 질문을 다루는 것.
• 다항부등식으로 정의된 볼록집합에 대해 명시적이고 계산적으로 다룰 수 있는 SDP 표현의 구성 방법을 제공하는 것.
• sos-볼록 다항식을 초월하여 양의 곡률을 가진 경계를 가진 집합까지 LMI 표현 가능성을 확장하는 것.
• 약간의 기하학적 및 대수적 조건 하에서 원래 볼록집합을 정확히 표현하는 SDP 타월을 구성하는 실용적인 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 정의 다항식의 차수에 기반하여 보조 변수에 대한 모멘트 행렬과 선형행렬부등식을 사용하여 SDP 타월을 구성한다.
• 각 다항식의 헤시안 행렬이 행렬 다항식의 제곱합인 sos-볼록성 조건을 활용하여 정확한 SDP 표현을 보장한다.
• 변수의 분리 가능성을 활용하여 각 변수별로 별도로 희소 모멘트 행렬을 구성함으로써 더 희소한 SDP 표현을 도입한다.
• 경계의 양의 곡률 조건—접선 공간에 제한된 헤시안의 음의 정부호성에 의해 정의됨—을 SDP 표현 가능성에 대한 대체 충분조건으로 사용한다.
• 경계가 양의 곡률을 가질 경우 유한하게 수렴하는 SDP 타월의 계층적 접근을 적용하지만, 본 논문은 반복적 계층 구조보다는 명시적 구성에 초점을 맞춘다.
• 보조 변수를 통한 고차원 공간에 원래 집합을 임bedding하는 구성 가능한 방법을 제공하여, 사영을 통해 원래 볼록집합을 LMI로 복원할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적으로 닫혀 있는 대수적 볼록집합이 스펙트라헤드론(즉, LMI 집합)의 사영으로서 정확히 표현 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 정의 다항식이 sos-볼록일 경우, 이러한 집합에 대해 명시적이고 유한차원의 SDP 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ3 정의 다항식이 볼록이 아니더라도, 볼록집합의 경계가 양의 곡률을 가진다면 그 집합이 SDP 표현 가능할 수 있는가?
• RQ4 정의 다항식이 희소할 경우, SDP 표현의 크기를 최소화하는 방법은 무엇인가?
• RQ5 구성 과정이 크기와 구조 측면에서 계산적으로 효율적이고 예측 가능하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 모든 정의 다항식이 sos-볼록일 경우, 제안된 SDP 타월 (2.4)은 원래 볼록집합 S를 정확히 표현한다.
• 분리 가능성의 특성을 활용하여 더 희소한 SDP 표현 (3.7)을 구성하였으며, 차수 d에 대해 보조 변수 수를 O(n^d)에서 O(n(d-1))로 줄였다.
• 집합 S의 경계에 대한 양의 곡률 조건—접선 공간에 제한된 헤시안의 음의 정부호성에 의해 정의됨—은 정의 다항식이 볼록이 아니더라도 SDP 표현 가능성을 보장한다.
• 구성은 명시적이고 유한하며 크기가 사전에 알려져 있으며, 수렴 단계가 예측 불가능한 반복 계층 구조와는 달리 그러한 특성을 지닌다.
• 집합 {x ∈ ℝ₊ⁿ : x₁x₂⋯xₙ ≥ 1}의 예시는 비볼록 다항식이 경계의 양의 곡률을 가질 경우에도 여전히 SDP 표현 가능한 집합이 될 수 있음을 보여준다.
• 논문은 양의 곡률 조건이 엄밀한 볼록성의 자연스럽고 제한적이지 않은 일반화임을 확인하였으며, 비퇴화된 정의 함수를 가진 엄밀한 볼록집합에서 이 조건이 항상 성립함을 보여준다.