[논문 리뷰] Structures in higher-dimensional category theory

Tom Leinster|ArXiv.org|2001. 09. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 고차원 범주론에서 자유 모나드의 대수의 범주인 카르테시안 범주 (S, ∗) 위에서의 자유 모노이드 모나드의 대수의 범주에 대한 범주 대상으로서 (S, ∗)-구조가 붙은 범주를 도입함으로써, 단순한 모노이드 범주를 일반화한다. (S, ∗)-구조가 붙은 범주와 다중범주 사이에 모나드적 수반 관계를 설정하여, 기존의 모노이드 범주와 다중범주 사이의 수반 관계를 확장하지만, 忘각 함자(forgotten functor)는 전부는 아니며, 단지 충실한( faithful ) 것임을 보인다.

ABSTRACT

This paper, written in 1998, aims to clarify various higher categorical structures, mostly through the theory of generalized operads and multicategories. Chapters I and II, which cover this theory and its application to give a definition of weak n-category, are largely superseded by my thesis (math.CT/0011106), but Chapters III and IV have not appeared elsewhere. The main result of Chapter III is that small Gray-categories can be characterized as the sub-tricategories of the tricategory of 2-categories, homomorphisms, strong transformations and modifications; there is also a conjecture on coherence in higher dimensions. Chapter IV defines opetopes and a category of n-pasting diagrams for each n, which in the case n=2 is a definition of the category of trees.

연구 동기 및 목표

• 카르테시안 범주 (S, ∗)에 대해 모노이드 범주의 이론을 일반화하기 위해 (S, ∗)-구조가 붙은 범주를 정의함으로써, 임의의 카르테시안 범주 (S, ∗)에 대해 모노이드 범주를 일반화한다.
• 기존의 모노이드 범주와 다중범주 사이의 수반 관계를 더 넓은 설정으로 일반화한다.
• 모나드적 수반 관계를 사용하여 (S, ∗)-구조가 붙은 범주의 기초가 되는 범주론적 구조를 조사한다.
• (S, ∗)-구조가 붙은 범주에서 다중범주로의 忘각 함자(forgotten functor)의 역할을 명확히 하여, 이 함자가 충실하지만 전부는 아니라는 것을 보인다.

제안 방법

• S 위의 자유 모노이드 모나드의 대수의 범주에 대한 범주 대상으로서 (S, ∗)-구조가 붙은 범주를 정의한다.
• S 위의 모나드 ()∗를 사용하여 S(∗)라는 대수의 범주를 구성하고, 이를 구조가 붙은 범주의 정의를 위한 기초로 삼는다.
• (S, ∗)-구조가 붙은 범주에서 다중범주로의 忘각 함자 U를 구성하고, 이 함자가 충실하지만 전부는 아니라는 것을 보인다.
• 다중범주에서 (S, ∗)-구조가 붙은 범주로의 자유 함자 F를 구성하고, 수반 관계 (F ⊣ U)를 형성한다.
• 이 수반 관계가 모나드적임을 증명하기 위해 모나드성 정리( monadicity theorem )를 사용한다.
• 전부가 아니라는 성질의 실패를 보여주기 위해, 1 → Δ의 다중범주 사상이 모노이드 구조를 보존하지 않는다는 반례를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 범주론에서 어떤 방식으로 모노이드 범주는 임의의 카르테시안 범주 (S, ∗)로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 (S, ∗)-구조가 붙은 범주와 다중범주 사이의 범주론적 관계는 무엇인가?
• RQ3 (S, ∗)-구조가 붙은 범주에서 다중범주로의 忘각 함자가 모나드적일 수 있는가?
• RQ4 왜 忘각 함자가 전부가 아니며, 이는 다중범주 사상의 구조에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 자유 모노이드 모나드 ()∗는 어떻게 하여 구조가 붙은 범주의 정의에 기여하는가?

주요 결과

• 논문은 성공적으로 S 위의 자유 모노이드 모나드의 대수의 범주에 대한 범주 대상으로서 (S, ∗)-구조가 붙은 범주를 정의함으로써, 모노이드 범주를 일반화한다.
• (S, ∗)-구조가 붙은 범주의 범주와 다중범주의 범주 사이에 모나드적 수반 관계가 확립된다.
• (S, ∗)-구조가 붙은 범주에서 다중범주로의 忘각 함자는 충실하지만 전부는 아니며, 1 → Δ의 사상에 대한 반례를 통해 이를 입증한다.
• 전부가 아니라는 성질의 실패는 일부 다중범주 사상이 객체를 보존하지만 모노이드 구조를 보존하지는 않는다는 데 기인한다.
• 이 구성은 고전적인 모노이드 범주와 다중범주 사이의 수반 관계를 일반화하며, 이제 임의의 카르테시안 범주 (S, ∗)에 대해 유효하다.