[논문 리뷰] Studies in Similarity

Christopher Bradley|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 07.

Mathematics and Applications참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼각형의 꼭짓점, 수심점, 그리고 브로카르 점으로부터 유도된 아홉 원을 조사하며, 그 중심들이 원본 삼각형과 유사한 여섯 개의 삼각형을 이루며, 이 중 세 개는 직접 유사하고 세 개는 간접 유사하다는 것을 보여준다. 간접 유사한 세 삼각형은 외심을 공통의 투영점으로 삼아 상호 투영 관계에 있으며, 이는 수심중심 원과 면적 좌표와 연결된 깊이 있는 기하학적 대칭성을 드러낸다.

ABSTRACT

Three circles define each of the Brocard points of a triangle. If one adds the three circles through a pair of vertices and the orthocentre one has nine circles. It is described how each of the nine centres of these circles lies at the vertex of two triangles producing six triangles. These triangles are each similar to the original triangle, three being directly similar and three indirectly similar. These latter three are mutually in perspective with the circumcentre as perspector.

연구 동기 및 목표

• 수심점 H, 브로카르 점 H⁺, 그리고 세 개의 새로운 점 aH, bH, cH와 함께 꼭짓점 쌍을 지나는 아홉 원을 식별하고 특성화하기.
• 아홉 원의 중심들과 그 평면 내 구성의 기하학적 및 대수적 성질을 규명하기.
• 이 아홉 중심이 원본 삼각형 ABC와 유사한 여섯 개의 삼각형을 이루며, 이 중 세 개는 직접 유사하고 세 개는 간접 유사하다는 것을 증명하기.
• 간접 유사한 세 삼각형이 외심 O를 공통의 투영점으로 공유한다는 것을 확립하기.
• 이러한 결과를 헤이지 원과 우드의 분류 체계와 관련된 직접 및 간접 유사성 이론의 광범위한 틀 안에 통합하기.

제안 방법

• 면적 좌표를 사용하여, 세 원은 수심점 H를 지나며 (BHC, CHA, AHB), 세 원은 브로카르 점 H⁺를 지나며 (AH⁺B, BH⁺C, CH⁺A), 세 원은 H⁻를 지나며 (AH⁻B, BH⁻C, CH⁻A) 아홉 원의 방정식을 유도한다.
• 무한원선의 극을 이용하여 중심들을 계산하며, 각 중심에 대해 비정규화된 면적 좌표를 산출한다.
• 점 aH, bH, cH는 중선과 수심중심 원(직경 GH)의 두 번째 교점을 이루며, 그 면적 좌표는 대수적으로 유도된다.
• 정규화된 면적 거리 계량을 적용하여 중심 간의 제곱거리 계산을 수행하며, 원본 삼각형의 변 길이 제곱에 비례함을 보여 유사성을 증명한다.
• 예를 들어 cA aB bC, aA aB aC 등 중심으로 이루어진 삼각형이 (변1)² ∝ a², (변2)² ∝ b², (변3)² ∝ c² 를 만족함을 보여 ABC와 유사하다는 것을 검증한다.
• aA, bB, cC 중심으로 이루어진 삼각형 세 개가 외심 O와 상호 투영 관계에 있음을, 공선성과 공통선 교차성의 논증을 통해 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수심점 H, 브로카르 점 H⁺, H⁻ 및 세 개의 새로운 점 aH, bH, cH와 함께 꼭짓점 쌍을 지나는 아홉 원 중심들이 기하학적으로 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 이 아홉 중심으로 이루어진 여섯 개의 삼각형은 어떤 성질을 가지며, 원본 삼각형 ABC와의 유사성 관계는 어떻게 되는가?
• RQ3 aA, bB, cC 중심으로 이루어진 삼각형 세 개가 왜 ABC와 간접 유사하고, 외심 O와 상호 투영 관계에 있는가?
• RQ4 수심중심 원은 점 aH, bH, cH를 찾는 데 어떤 역할을 하며, 아홉 원 구성의 통합에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이러한 구성은 헤이지 원과 우드의 프레임워크와 관련된 직접 및 간접 유사성 이론의 광범위한 이론 체계에 어떻게 통합되는가?

주요 결과

• H, H⁺, H⁻와 함께 꼭짓점 쌍을 지나는 아홉 원의 중심들은 삼각형 ABC와 직접 유사한 세 개와 간접 유사한 세 개를 포함하는 여섯 개의 삼각형을 이룬다.
• 간접 유사한 세 삼각형은 외심 O를 공통의 투영점으로 삼으며, 중심에서 O로 향하는 대응 선분의 공선성으로 이 결과가 확인된다.
• 점 aH, bH, cH는 수심중심 원(직경 GH) 위에 있으며, 면적 좌표는 각각 aH(a², b² + c² – a², b² + c² – a²), bH(c² + a² – b², b², c² + a² – b²), cH(a² + b² – c², a² + b² – c², c²) 로 표현된다.
• 중심 간 제곱거리가 원본 삼각형의 변 길이 제곱에 비례함을 보여 유사성이 확인되며, (bC aB)² = k a², (cA bC)² = k b², (aB cA)² = k c² 를 만족하는 스칼라 k 가 존재한다.
• 삼각형 aA aB aC, bA bB bC, cA cB cC 는 모두 ABC와 직접 유사하며, 서로 간에도 직접 유사하며, 면적 비율 l : m : n 이다. 여기서 l, m, n 는 변 길이 표현식으로 유도된다.
• aA, bB, cC 중심으로 이루어진 삼각형 세 개는 상호 투영 관계에 있으며, 면적 거리 계량을 통한 계산으로 (aB aC)² ∝ a², (aC aA)² ∝ b², (aA aB)² ∝ c² 를 만족함을 보여 유사성이 확인된다.