[논문 리뷰] Sturm Liouville Equations in the frame of fractional operators with Mittag-Leffler kernels and their discrete versions

Raziye Mert, Thabet Abdeljawad외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 10.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속적이고 이산적(nabla) 설정에서 미타그레플러 커널을 가진 아탕카나-발레아누 분수형 슈트름-리우빌 방정식(SLEs)을 도입하고 분석한다. 이러한 연산자에 대한 부분 적분 공식을 활용하여, 자가수반성, 실수 고유값, 직교 고유함수를 확립함으로써, 비특이 분수형 연산자와 향상된 수치적 성질을 지닌 고전적 SLE 이론을 확장한다.

ABSTRACT

Very recently, some authors have studied new types of fractional derivatives whose kernels are nonsingular. In this article, we study Sturm-Liouville Equations ($SLEs$) in the frame of fractional operators with Mittag-Leffler kernels. We formulate some Fractional Sturm-Liouville Problems ($FSLPs$) with the diffferential part containing the left and right sided derivatives. We investigate the self-adjointness, eigenvalue and eigenfunction properties of the corresponding Fractional Sturm-Liouville Operators ($FSLOs$) by using fractional integration by parts formulas. The nabla discrete version of our results are also established.

연구 동기 및 목표

• 고전적 슈트름-리우빌 이론을 비특이 미타그레플러 커널을 가진 분수형 연산자로 확장하기 위해.
• 좌우측 ABR 및 ABC 분수형 미분을 사용하여 분수형 슈트름-리우빌 문제(FSLPs)를 수립하기 위해.
• 해당 분수형 슈트름-리우빌 연산자(FSLOs)의 자가수반성, 고유값 및 고유함수 성질을 확립하기 위해.
• 연속적 FSLP 프레임워크의 이산(nabla) 대응체를 개발하기 위해.
• α ∈ (1, 3/2)인 고차수 이산 FSLPs에 대한 열린 문제를 제안하며, α → 1⁺일 때 일반 차분에 의해 복원 가능할 잠재력이 있음을 제시하기 위해.

제안 방법

• 미타그레플러 커널을 가진 좌우측 ABR 및 ABC 분수형 미분을 사용하여 연속적 FSLPs를 수립한다.
• 참고문헌 [24, 33]에서 유도된 분수형 부분 적분 공식을 적용하여 자가수반성과 고유구조를 분석한다.
• 이산 미타그레플러 커널을 가진 나블라 ABR 및 ABC 분수형 차분을 사용하여 이산(nabla) FSLP를 정의한다.
• 이산 부분 적분 공식(정리 4)을 활용하여 이산 설정에서 고유값 및 고유함수 성질을 증명한다.
• 일반화된 미타그레플러 함수 $ E^{ ho}_{eta,eta}(z) $ 를 사용하여 분수형 연산자와 그 역함수를 표현한다.
• 고차수 분수형 차분(α ∈ (1, 3/2))과 매개변수 변환을 통해 이차 차분 간의 연결을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적 설정에서 ABR 및 ABC 분수형 미분을 사용하여 분수형 슈트름-리우빌 문제를 수립할 수 있는가?
• RQ2 결과적으로 도출된 분수형 슈트름-리우빌 연산자가 자가수반성, 실수 고유값, 직교 고유함수를 가지는가?
• RQ3 연속적 프레임워크는 유사한 성질을 지닌 이산(nabla) 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 α → 1⁺일 때 이산 FSLP의 거동은 어떠한가? 그리고 고전적 이산 SLE를 복원할 수 있는가?
• RQ5 α ∈ (1, 3/2)인 ABR 및 ABC 분수형 차분에 대해 부분 적분 공식이 존재하는가? 이는 고차수 이산 FSLPs의 스펙트럼 분석을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 연속적 분수형 슈트름-리우빌 연산자 $ {}^{C}L_1 $ 는 내적 $ raket{f,g} = rac{1}{B(eta)}raket{f,g}_{L^2} $ 에 대해 자가수반적이며, 실수 고유값을 보장한다.
• 연속적 FSLP의 고유값은 부분 적분과 연산자 $ {}^{C}L_1 $ 의 자가수반성에 의해 증명된 바, 실수이다.
• 서로 다른 고유값에 대응하는 고유함수는 가중함수 $ r(t) $ 에 대해 직교하며, $ u_1 \neq \nu_2 $ 일 때 $ raket{x_{ u_1}, x_{ u_2}} = 0 $ 을 만족한다.
• 정의역 $ \mathbb{N}_{a,b} $ 에서 정의된 이산 FSLP의 버전 역시 내적 $ \braket{f,g} = \sum_{t=a+1}^{b} r(t)f(t)g(t) $ 에 대해 실수 고유값과 직교 고유함수를 제공한다.
• 이산 연산자 $ {}^{dC}L_1 $ 는 자가수반적이며, 그 고유함수는 가중치 $ r(t) $ 에 대해 직교하며, 이는 이산 부분 적분을 통해 입증되었다.
• 열린 문제 제기: α ∈ (1, \frac{3}{2}) 인 ABR 및 ABC 분수형 차분에 대해 부분 적분 공식을 확립할 수 있는가? 이를 통해 고차수 이산 FSLPs의 스펙트럼 분석을 가능하게 할 수 있는가?