[논문 리뷰] Sub classes of Bi-Univalent Functions Defined by Salagean type $q-$ Difference Operator

G. Murugusundaramoorthy, K. Vijaya|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 30.

Analytic and geometric function theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Sálăgean 유형의 $q$-차분 연산자를 사용하여 이원일치 함수의 새로운 부분류를 도입하고, 초월 조건 하에서 계수 $|a_2|$ 및 $|a_3|$에 대한 정밀 추정을 수립한다. 또한 새로운 함수 계열에 대한 Fekete-Szegő 부등식을 유도하여 고전적 및 $q$-미적분 프레임워크에서 이전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce and investigate a new subclass of the function class $Σ$ of bi-univalent functions defined in the open unit disk, which are associated with the Sălăgean type $q-$ difference operator and satisfy some subordination conditions. Furthermore, we find estimates on the Taylor-Maclaurin coefficients $|a_2|$ and $|a_3|$ for functions in the new subclass introduced here. Several (known or new) consequences of the results are also pointed out. Further we obtain Fekete-Szeg$\ddot{o}$ inequality for the new function class.

연구 동기 및 목표

• 단위 개방판 내에서 Sálăgean 유형의 $q$-차분 연산자를 사용하여 이원일치 함수의 새로운 부분류를 정의한다.
• 일반적인 해석적 함수 $\phi(z)$가 양의 실수부를 갖는 조건 하에서, $|a_2|$ 및 $|a_3|$의 계수 추정을 수립한다.
• 기존의 단일함수 이론 결과를 일반화하는 새로운 함수 계열에 대한 Fekete-Szegő 부등식을 유도한다.
• $q$-미적분과 이원일치 함수의 맥락에서 기존의 계수 경계를 통합하고 확장한다.
• 헤앙켈 행렬식과 고차 계수 추정에 대한未래 연구를 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 단위판 내 해석적 함수에 대해 Sálăgean 유형의 $q$-차분 연산자 $\mathcal{D}_q^k f(z)$를 정의한다.
• 서브오르더 조건을 통해 두 개의 새로운 부분류 $\mathcal{M}\Sigma_q^k(\lambda,\phi)$ 및 $\mathcal{F}\Sigma_q^k(\mu,\phi)$를 도입한다.
• 역함수 전개 $f^{-1}(w) = w - a_2 w^2 + (2a_2^2 - a_3)w^3 + \cdots$ 를 이용해 $f$와 $f^{-1}$의 계수 간의 관계를 설정한다.
• 일반화된 함수 $\phi(z) = 1 + B_1 z + B_2 z^2 + \cdots$ 를 사용하여 서브오르더 이론과 계수 추정을 적용한다. 여기서 $B_1 > 0$이다.
• 양의 실수부를 갖는 보조 함수 $p(z)$ 및 $q(z)$를 활용하여 색재르의 보조정리에 기반해 $a_2$ 및 $a_3$에 대한 부등식을 도출한다.
• $\Theta(\tau)$ 및 $\Phi(\tau)$를 포함하는 매개변수화된 표현식을 사용하여 $|a_3 - \tau a_2^2|$를 유계화함으로써 Fekete-Szegő 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sálăgean 유형의 $q$-차분 연산자를 통해 정의된 이원일치 함수의 새로운 부분류에서 초기 계수 $|a_2|$ 및 $|a_3|$에 대한 정밀 추정은 무엇인가?
• RQ2 계수 경계는 $q$, $k$, $\lambda$, $\mu$, 그리고 서브오르더 함수 $\phi(z)$의 계수 $B_1$, $B_2$에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 새로운 함수 계열에 대한 Fekete-Szegő 부등식은 무엇이며, 기존 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 만일 $q \to 1^-$ 및 $k=0$일 경우 결과는 어떻게 고전적 경우로 축소되는가?
• RQ5 이 방법을 고차 헤앙켈 행렬식을 계산하는 데로 확장할 잠재력은 무엇인가?

주요 결과

• $|a_2|$의 추정은 $|a_2| \leq \frac{B_1}{2(1+\lambda)[2]_q^k} \sqrt{\frac{1}{(1+\lambda)[2]_q^{2k} + (B_1 - B_2)[2]_q^{2k}}}$ 로 주어지며, 특정 조건에서 등호가 성립한다.
• $|a_3|$의 추정은 $|a_3| \leq B_1 \left( \frac{B_1}{(1+\mu)^2[2]_q^{2k}} + \frac{1}{(1+2\mu)[3]_q^k} \right)$ 로 주어지며, 계수 관계와 서브오르더 제약 조건에서 유도된다.
• $\mathcal{M}\Sigma_q^k(\lambda,\phi)$에 대한 Fekete-Szegő 부등식은 $|a_3 - \tau a_2^2| \leq \max\left\{ \frac{B_1}{2(1+2\lambda)[3]_q^k}, 4B_1|\Theta(\tau)| \right\}$ 로 주어지며, $|\Theta(\tau)|$ 의 값에 따라 달라진다.
• $\mu = 0$ 또는 $\mu = 1$ 이고, $\phi(z)$ 가 (1.3) 또는 (1.4)와 같이 선택될 경우, 경계는 강력한 스타형 함수 및 순서 $\alpha$ 또는 $\beta$의 스타형 함수에 대한 알려진 추정으로 축소된다.
• $k=0$ 이고 $q \to 1^-$ 일 경우, 결과는 이전 연구들(예: [4, 6, 16])에서 얻은 고전적 계수 경계를 복원한다.
• 이 프레임워크는 계수 분석을 $a_4$로 확장함으로써 향후 헤앙켈 행렬식의 계산을 가능하게 한다.