[논문 리뷰] Sub-homogeneous positive monotone systems are insensitive to heterogeneous time-varying delays

Hamid Reza Feyzmahdavian, Themistoklis Charalambous외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 06.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 34인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유계 이질적 시간에 따라 변하는 지연을 갖는 부분 동차성 있는 양의 단조 시스템이 유일한 지연 없는 시스템이 전역적으로 점점 수렴하는 조건을 만족할 때, 그리고 그때에만 전역적으로 점점 수렴함을 증명한다. 이 결과는 시간에 따라 변하는 지연으로까지 지연에 대한 민감도가 없는 성질을 확장하며, 일정 지연 시스템으로의 변환을 통해 지연에 대한 민감도 없음을 입증하고, 단조성과 부분 동차성 성질을 활용하여 임의의 유계 지연 하에서 안정성을 확립한다.

ABSTRACT

We show that a sub-homogeneous positive monotone system with bounded heterogeneous time-varying delays is globally asymptotically stable if and only if the corresponding delay-free system is globally asymptotically stable. The proof is based on an extension of a delay-independent stability result for monotone systems under constant delays by Smith to systems with bounded heterogeneous time-varying delays. Under the additional assumption of positivity and sub-homogeneous vector fields, we establish the aforementioned delay insensitivity property and derive a novel test for global asymptotic stability. If the system has a unique equilibrium point in the positive orthant, we prove that our stability test is necessary and sufficient. Specialized to positive linear systems, our results extend and sharpen existing results from the literature.

연구 동기 및 목표

• 유계 이질적 시간에 따라 변하는 지연 하에서 부분 동차성 있는 양의 단조 시스템의 지연에 대한 민감도 없음을 확립하기 위해.
• 기존의 일정 지연에 대한 지연 독립 안정성 결과를 단조 시스템에서 시간에 따라 변하는 지연으로 확장하기 위해.
• 양의 정부분에서 유일한 평형점이 존재하는 이러한 시스템에 대해 필요하고 충분한 안정성 테스트를 제공하기 위해.
• 기존의 양의 선형 시스템 및 일정 지연을 갖는 비선형 양의 시스템에 대한 결과를 일반화하기 위해.
• 시간에 따라 변하는 지연이 존재할 때 변환 기법과 단조성 논증을 통해 안정성 기준을 검증하기 위해.

제안 방법

• 시간 스케일링 변환을 사용하여 이질적 시간에 따라 변하는 지연을 갖는 시스템을 일정 지연을 갖는 등가 시스템으로 변환하기 위해.
• 벡터장의 협동성(메츠러 자코비안) 구조를 활용하여 궤적의 단조성을 보장하기 위해.
• 벡터장의 부분 동차성을 적용하여 해를 유 bounds하고 극한 궤적과의 비교를 통해 수렴성을 확립하기 위해.
• 영에서 시작하는 해와 상한에서 시작하는 해가 모두 평형점으로 수렴함을 이용하여 중간 초기 조건을 끼워넣기 위해.
• 모든 음이 아닌 초기 조건이 유일한 평형점으로 수렴하는 궤적을 이끌어내어 전역 점점 수렴 안정성을 증명하기 위해.
• 양의성과 부분 동차성 가정 하에서 지연 없는 안정성 조건이 필요하고 충분함을 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 동차성 있는 양의 단조 시스템은 유계 이질적 시간에 따라 변하는 지연에 민감하지 않다.
• RQ2 일정 지연을 갖는 단조 시스템의 지연 독립 안정성 성질을 시간에 따라 변하는 지연으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 지연 없는 시스템의 전역 점점 수렴 안정성이 임의의 유계 시간에 따라 변하는 지연 하에서의 안정성에 대해 필수적이고 충분한 조건인가?
• RQ4 부분 동차성은 시간에 따라 변하는 지연을 갖는 비선형 양의 시스템에서 안정성에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이 안정성 테스트는 양의 선형 시스템에 적용 가능하며, 비선형 경우로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 유계 이질적 시간에 따라 변하는 지연을 갖는 부분 동차성 있는 양의 단조 시스템은 지연 없는 시스템이 전역적으로 점점 수렴할 때 그리고 그때에만 전역적으로 점점 수렴한다.
• 이 결과는 양의 정부분에서 유일한 평형점이 존재하는 시스템에 대해 적용되며, 이 경우 테스트는 필수적이고 충분하다.
• 증명 과정에서 영에서 시작하는 궤적과 상한에서 시작하는 궤적이 모두 평형점으로 수렴함을 입증하여, 모든 중간 초기 조건의 궤적을 끼워넣을 수 있다.
• 일정 지연 시스템으로의 변환을 통해 지연 독립 안정성 결과를 시간에 따라 변하는 지연 설정에 적용할 수 있다.
• 이 결과는 기존의 양의 선형 시스템에 대한 안정성 기준을 일반화하고 더 엄밀하게 다듬으며, 더 넓은 비선형 시스템의 범주로 확장한다.
• 부분 동차성과 양의성은 시간에 따라 변하는 지연이 존재할지라도, 표준 증명에서 단조성을 깨뜨리더라도 시스템이 유계 지연 하에서 안정성을 유지하도록 보장한다.