[논문 리뷰] Subcritical approximation of a Yamabe type non local equation: a Gamma-convergence approach

Giampiero Palatucci, Adriano Pisante외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 28.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 33인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 $ \Gamma $-수렴 기법을 사용하여 분수 $ H^s $ 공간에 대한 임계 스오볼레프 포함의 초임계 근사에 대해 연구한다. 초임계 지수를 임계 지수로 접근함에 따라, 근사 문제의 최적 함수들이 도메인의 폐쇄 내에서 한 점에 $ H^s $ 에너지가 집중됨을 증명하며, 그 한계 에너지 측도는 해당 점에서의 딜라크 델타임임을 보인다.

ABSTRACT

We investigate a natural approximation by subcritical Sobolev embeddings of the Sobolev quotient for the fractional Sobolev spaces $H^s$ for any $0<s<N/2$, using $\\Gamma$-convergence techniques. We show that, for such approximations, optimal functions always exist and exhibit a concentration effect of the $H^s$ energy at one point.

연구 동기 및 목표

• 임계 임계값에 접근함에 따라 분수 $ H^s $ 공간에서의 초임계 스오볼레프 포함에 대한 최대화자의 점근적 행동을 연구하기 위해.
• 콤���트성과 변분 방법을 사용하여 초임계 근사 프레임워크 내에서 최적 함수의 존재를 확립하기 위해.
• 초임계 수렴의 한계에서 $ \varepsilon \to 0 $ 시 $ H^s $ 에너지의 집중을 $ \Gamma^+ $-수렴을 통해 분석하기 위해.
• 최대화자의 에너지 측도의 약한 극한이 도메인 폐쇄 내의 한 점에서의 델타 함수임을 특성화하기 위해.
• 임계 스오볼레프 부등식에서 최적 상수가 에너지 집중 프로파일에서 딜라크 덴스티로만 달성됨을 증명하기 위해.

제안 방법

• 제약 조건 $ \|(-\Delta)^{s/2}u\|_{L^2}^2 \leq 1 $ 하에 기능 $ F_\varepsilon(u) = \int_\Omega |u|^{2^* - \varepsilon} \, dx $ 를 통한 초임계 근사의 형식화.
• 함수열 $ F_\varepsilon $ 에 대해 $ \Gamma^+ $-수렴 이론을 적용하며, 극한 기능은 함수와 그 에너지 측도의 약한 극한을 나타내는 쌍 $ (u, \mu) $ 가 속한 공간에 정의된다.
• 분수 $ s $ 에 대해 $ 0 < s < 1 $ 일 때, 푸리에 기반의 $ H^s $ 노름 정의와 가가르도 반경 표현을 사용하여 에너지 구조를 분석한다.
• 집중-콤팩트성 원리와 $ \dot{H}^s $ 및 $ L^{2^*} $ 공간에서의 약한 수렴을 통해 콤팩트성을 확립한다.
• 모든 $ (u, \mu) \in X $ 에 대해 상한 $ F(u, \mu) \leq S^* $ 를 증명하며, 등호는 $ u = 0 $ 이고 $ \mu = \delta_{x_0} $ 를 만족하는 어떤 $ x_0 \in \overline{\Omega} $ 에서만 성립함을 보인다.
• 임계 포함의 비콤팩트성과 엄격한 볼록성을 이용하여, 최적 상수를 달성할 수 있는 것은 오직 딜라크 덴스티뿐임을 유추한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 임계값에 접근함에 따라, $ \dot{H}^s(\Omega) \hookrightarrow L^{2^* - \varepsilon}(\Omega) $ 의 초임계 스오볼레프 포함에 대한 최대화자는 어떻게 되는가?
• RQ2 이러한 최대화자의 에너지 측도의 한계 행동을 $ \Gamma^+ $-수렴 프레임워크로 기술할 수 있는가?
• RQ3 임계 스오볼레프 부등식 $ \|u\|_{L^{2^*}}^{2^*} \leq S^* \|(-\Delta)^{s/2}u\|_{L^2}^{2^*} $ 의 최적 상수가 한계에서 비자명한 집중 프로파일에 의해 달성되는가?
• RQ4 초임계 근사에서 $ \varepsilon \to 0 $ 시 최대화자의 에너지가 도메인 내 한 점에 집중되는가?
• RQ5 에너지 측도 $ |(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon|^2 dx $ 의 약한 극한이 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 정확히 어떻게 특성화되는가?

주요 결과

• 모든 $ 0 < s < N/2 $ 에 대해, $ F_\varepsilon $ 를 통한 임계 스오볼레프 포함의 초임계 근사는 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때, $ \|(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon\|_{L^2}^2 $ 가 도메인의 폐쇄 내의 한 점 $ x_0 \in \overline{\Omega} $ 에 집중되는 최대화자 $ u_\varepsilon $ 를 유도한다.
• $ F_\varepsilon $ 의 $ \Gamma^+ $-극한은 쌍 $ (u, \mu) $ 에 정의된 기능 $ F(u, \mu) $ 이며, 여기서 $ \mu $ 는 양의 라돈 측도이며, $ F(u, \mu) = \int_\Omega |u|^{2^*} dx + S^* \sum_j \mu_j^{2^*/2} $ 이다.
• 극한 기능 $ F $ 의 최대값은 $ S^* $ 이며, 이는 $ u = 0 $ 이고 $ \mu = \delta_{x_0} $ 를 만족하는 어떤 $ x_0 \in \overline{\Omega} $ 에서만 성립한다.
• 에너지 측도의 수열 $ |(-\Delta)^{s/2}u_\varepsilon|^2 dx $ 는 약한* 수렴으로 $ \delta_{x_0} $ 로 수렴하며, 이는 $ H^s $ 에너지의 점집중을 확인한다.
• 초임계 문제의 최대화자 존재성은 임계 경우에서 실패하는 콤팩트 포함 $ \dot{H}^s(\Omega) \hookrightarrow L^{2^* - \varepsilon}(\Omega) $ 에 의해 보장된다.
• 임계 스오볼레프 상수 $ S^* $ 는 $ \dot{H}^s(\Omega) $ 내의 어떤 비영함수로도 달성되지 않으며, 이는 근사의 필요성과 집중의 발생을 정당화한다.