[논문 리뷰] Subcritical branching processes in random environment without Cramer condition

Vladimir Vatutin, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 관련 랜덤 워크가 Cramér 조건을 만족하지 않을 때, 꼬리 지수 β > 2인 무거운 꼬리 증분을 가진 무작위 환경 속의 초임계 분할 과정을 연구한다. 장기적 생존은 랜덤 워크에서 한 번의 큰 음의 점프로 인해 발생하며, 이는 초기 인구 폭발을 유도한다. 생존 조건 하에서 입자 수의 점근적 극한 분포는 이전의 고전적 초임계 케이스와 달리 이산이 아니라 연속임을 규명한다.

ABSTRACT

A subcritical branching process in random environment (BPRE) is considered whose associated random walk does not satisfy the Cramer condition. The asymptotics for the survival probability of the process is investigated, and a Yaglom type conditional limit theorem is proved for the number of particles up to moment $n$ given survival to this moment. Contrary to other types of subcritical BPRE, the limiting distribution is not discrete. We also show that the process survives for a long time owing to a single big jump of the associate random walk accompanied by a population explosion at the beginning of the process.

연구 동기 및 목표

• 관련 랜덤 워크가 Cramér 조건을 만족하지 않을 때, 초임계 분할 과정의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 로그arithmic 평균 후손 수의 꼬리 지수 β > 2인 경우, 생존 확률을 특성화하는 것.
• 생존 시점 n까지의 입자 수에 대한 Yaglom 유형의 조건부 극한 정리 수립.
• 장기적 생존을 가능하게 하는 메커니즘을 규명하여, 이는 관련 랜덤 워크에서 한 번의 큰 음의 점프에서 기인함을 보여주는 것.
• 생존 조건 하에서 입자 수의 극한 분포가 고전적 초임계 케이스의 이산 극한과 대조적으로 연속임을 보이는 것.

제안 방법

• 독립 동일 분포의 후손 분포를 사용하여 무작위 환경 속 분할 과정을 모델링하며, 생성 함수 f_n(s)를 사용하고, 로그arithmic 평균 후손 수 X_n = log f_{n-1}'(1)가 꼬리 지수 β > 2인 무거운 꼬리 분포를 가짐을 가정한다. 즉, P(X > x) ~ l(x)/x^β.
• 관련 랜덤 워크 S_n = X_1 + ... + X_n를 정의하며, E[X] = -a < 0 이므로 거의 확실하게 -∞로 발산한다.
• U_n을 마지막으로 큰 음의 점프가 발생한 시점으로 정의하고, U_n 이후의 랜덤 워크에 대한 기능적 극한 정리를 사용하여 점프 이후의 경로 행동을 분석한다.
• 대편차 기법과 정규 변동 이론을 적용하여 X의 꼬리 행동과 생존 확률을 분석한다.
• 생존 조건 하에서 스케일링된 입자 수 과정의 수렴을 보이며, 점프 이후 랜덤 워크가 브라운 운동으로 수렴함을 이용한다.
• 점프 이후 랜덤 워크가 브라운 운동으로 수렴함을 이용하여, 생존 조건 하에서의 인구 수 극한 분포를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관련 랜덤 워크가 Cramér 조건을 만족하지 않을 때, 생존 확률의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ2 Cramér 조건을 만족하지 않는 경우, 먼 시점 n까지 생존한 조건 하에서 인구 수는 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 생존 조건 하에서 입자 수의 극한 분포의 성격은 무엇이며, 고전적 초임계 과정의 이산 극한과 어떻게 다를까?
• RQ4 Cramér 조건이 없을 때 장기적 생존을 가능하게 하는 메커니즘은 무엇인가?
• RQ5 특히 한 번의 큰 음의 점프로 인해 영향을 받는 관련 랜덤 워크의 행동은 인구 역학에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 생존 확률은 다항식적으로 감소하며, 감소율은 로그arithmic 평균 후손 수의 꼬리 지수 β > 2에 의해 결정된다.
• 장기적 생존은 관련 랜덤 워크에서 한 번의 큰 음의 점프로 인해 발생하며, 이는 초기 인구 폭발을 유도한다.
• 시점 n까지 생존한 조건 하에서 입자 수는 n → ∞ 일 때 무한히 증가하며, 고전적 초임계 케이스에서의 유계성과 대조된다.
• 생존 조건 하에서 입자 수의 조건부 극한 분포는 이산이 아니라 연속이며, 점프 이후 랜덤 워크가 브라운 운동으로 수렴함에 기인한다.
• 극한 분포는 비퇴화적이며 르베그 측도에 대해 절대 연속적이며, 이는 척도 행동이 본질적으로 다름을 시사한다.
• 생존 조건 하에서 스케일링된 입자 수 과정에 대한 기능적 극한 정리는 약한 수렴을 보이며, 이는 비퇴화된 극한으로서 브라운 운동을 포함한다. 이는 극한의 연속성을 확인한다.