[논문 리뷰] Subdifferentials of Nonconvex Integral Functionals in Banach Spaces with Applications to Stochastic Dynamic Programming

Boris S. Mordukhovich, Nobusumi Sagara|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 10.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 19인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 일반 바나흐 공간에서 비볼록 적분 함수에 대한 비미분 가능성 미분법을 수립하기 위해 게르판드 적분의 하부미분 사상에 대한 하부미분 규칙을 확립함으로써, 폐쇄 연산을 제거하기 위해 포화성과 라파노프 유형 정리를 활용한다. 주요 기여는 반사성 또는 분리 가능성을 가정하지 않고도 무한 수명 주기의 확률적 동적 프로그래밍에서 필요 최적성 조건을 도출할 수 있도록 해주는 제한 하부미분에 대한 일반화된 라이프니츠 규칙을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

The paper concerns the investigation of nonconvex and nondifferentiable integral functionals on general Banach spaces, which may not be reflexive and/or separable. Considering two major subdifferentials of variational analysis, we derive nonsmooth versions of the Leibniz rule on subdifferentiation under the integral sign, where the integral of the subdifferential set-valued mappings generated by Lipschitzian integrands is understood in the Gelfand sense. Besides examining integration over complete measure spaces and also over those with nonatomic measures, our special attention is drawn to a stronger version of measure nonatomicity, known as saturation, to invoke the recent results of the Lyapunov convexity theorem type for the Gelfand integral of the subdifferential mappings. The main results are applied to the subdifferential study of the optimal value functions and deriving the corresponding necessary optimality conditions in nonconvex problems of stochastic dynamic programming with discrete time on the infinite horizon.

연구 동기 및 목표

• 일반 바나흐 공간 내에서 비볼록, 비미분 가능 설정으로 고전적인 라이프니츠 유형 하부미분 규칙을 적분 함수에 대해 확장한다.
• 포화성 및 라파노프 볼록성 정리를 활용하여 하부미분 포함관계에서 노름 폐쇄 연산이 필요 없도록 한다.
• 기초 바나흐 공간의 반사성 및 분리 가능성 등의 구조적 가정을 완화한다.
• 개발된 미분법을 비볼록 확률적 동적 프로그래밍 문제의 무한 수명 주기에서 필요 최적성 조건을 도출하는 데 적용한다.
• 비선형 프로그래밍 제약 조건이 있는 확률적 제어에서 최적 가치 함수의 제한 하부기울기 공식을 수립한다.

제안 방법

• 비반사성 및 비분리 가능한 바나흐 공간 내에서 다중함수 하부미분 사상을 다루기 위해 보흐너 적분 대신 게르판드 적분을 사용한다.
• 포화된 측도 공간에서 다중함수의 게르판드 적분에 대해 라파노프 볼록성 정리를 적용하여 하부미분 포함관계에서 폐쇄 연산을 제거한다.
• 측도의 포화성(초원자 없음) 개념을 활용하여 하부미분 사상의 게르판드 적분이 추가 폐쇄 없이 약한* 폐쇄와 일치하도록 보장한다.
• 아스플룬드 공간 및 일반 바나흐 공간에서 기본/제한 하부미분과 클락의 일반화된 기울기의 일반화된 라이프니츠 공식을 유도한다.
• 가치 함수를 국소 함수로 표현하고 비미분 최적화를 위한 하부미분 규칙을 적용하여 계산 프레임워크를 확률적 동적 프로그래밍에 적용한다.
• 파arametric Mangasarian-Fromovitz 제약 조건의 충족 조건 하에서 하부미분 미분법을 활용하여 최적 가치 함수의 벨만 방정식을 수립하고 필요 최적성 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비반사성 및 비분리 가능한 바나흐 공간 내에서 비볼록, 비미분 가능 적분 함수에 대해 고전적인 적분 기호 아래 미분 규칙(라이프니츠 법칙)을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 하부미분 포함관계의 폐쇄 연산을 제거할 수 있는 조건는 무엇인가?
• RQ3 측도 공간의 포화성을 어떻게 활용하여 폐쇄 없이 정확한 하부미분 표현을 확보할 수 있는가?
• RQ4 비볼록, 비미분 가능 동역학 및 제약 조건을 가진 무한 수명 주기의 확률적 동적 프로그래밍 문제에 대한 필요 최적성 조건는 무엇인가?
• RQ5 반사성 및 분리 가능한 공간을 초월하여 확률적 제어의 맥락에서 결과를 얼마나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 비볼록 적분 함수의 제한 하부미분에 대해 일반화된 라이프니츠 규칙이 수립되었으며, ∂(∫φ(·,ω)dμ)(x̄) ⊂ cl ∫ ∂φ(x̄,ω)dμ 이며, 포화 조건 하에서 폐쇄 연산이 제거된다.
• 포화된 측도 공간에서는 하부미분 사상의 게르판드 적분이 적분의 약한* 폐쇄와 일치하므로, 폐쇄 연산 없이 정확한 하부미분 표현이 가능하다.
• 이 결과는 기본/제한 하부미분과 클락의 일반화된 기울기 모두에 적용되며, 후자는 포화 조건 없이도 일반 바나흐 공간에서 정확한 포함관계를 제공한다.
• 하부미분 미분법은 무한 수명 주기 설정에서 최적 가치 함수의 벨만 방정식을 도출하기 위해 확률적 동적 프로그래밍에 적용된다.
• 비선형 프로그래밍 제약 조건이 있는 확률적 제어 문제에 대해 필요 최적성 조건이 도출되었으며, 가치 함수의 하부기울기는 라그랑주 함수의 기울기 집합에 포함됨을 보여준다.
• 정책 다중함수가 최적 해 근처에서 국소적으로 상한 리프시츠 선택자를 갖는다면, 하부미분 포함관계에서 등호가 성립한다.