[논문 리뷰] Subexponential tail equivalence of the queue length distributions of BMAP/GI/1 queues with and without retrials

Hiroyuki Masuyama|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 17.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 40인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 새로운 스토하스틱 분해 유사 결과와 행렬 해석 방법을 사용하여 BMAP/GI/1 대기열에서 재시도가 있는 경우와 없는 경우의 정적 대기열 길이 분포 간의 하위지수 尾 등가성을 확립한다. 주요 기여는 배치 크기가 두꺼운 尾를 가질 경우조차도 재시도 대기열의 尾 행동이 표준 대기열과 동일함을 증명하는 것이다—이전 결과들은 경량 배치 도착을 요구했지만, 본 논문은 이를 확장한다.

ABSTRACT

The main contribution of this paper is to prove the subexponential tail equivalence of the stationary queue length distributions in the BMAP/GI/1 queues with and without retrials. We first present a stochastic-decomposition-like result of the stationary queue length in the BMAP/GI/1 retrial queue, which is an extension of the stochastic decomposition of the stationary queue length in the M${}^X$/GI/1 retrial queue. The stochastic-decomposition-like result shows that the stationary queue length distribution in the BMAP/GI/1 retrial queue is decomposed into two parts: the stationary conditional queue length distribution given that the server is idle; and a certain matrix sequence associated with the stationary queue length distribution in the corresponding standard BMAP/GI/1 queue (without retrials). Using the stochastic-decomposition-like result and matrix analytic methods, we prove the subexponential tail equivalence of the stationary queue length distributions in the BMAP/GI/1 queues with and without retrials. This tail equivalence result does not necessarily require that the size of an arriving batch is light-tailed, unlike Yamamuro's result for the M${}^X$/GI/1 retrial queue (Queueing Syst. 70:187--205, 2012). As a by-product, the key lemma to the roof of the main theorem presents a subexponential asymptotic formula for the stationary distribution of a level-dependent M/G/1-type Markov chain, which is the first reported result on the subexponential asymptotics of level-dependent block-structured Markov chains.

연구 동기 및 목표

• BMAP/GI/1 재시도 대기열과 표준 BMAP/GI/1 대기열 간의 정적 대기열 길이 분포 간 하위지수 尾 등가성을 확립하기 위해.
• M^X/GI/1 재시도 대기열에 대해 알려진 스토하스틱 분해 구조를 더 일반적인 BMAP/GI/1 재시도 모델으로 일반화하기 위해.
• 이전 연구에서 요구했던 경량 배치 크기 가정을 제거하여 하위지수 尾 등가성을 확립하기 위해, 예를 들어 Yamamuro(2012)의 결과를 포함한다.
• 레벨 의존성 M/G/1 유형 마르코프 체인의 정적 분포에 대한 새로운 渐近 공식을 유도하기 위해.
• 일반적인 배치 도착과 두꺼운 서비스 또는 도착 간격을 가진 재시도 대기열에서 희귀 사건 행동을 분석하기 위한 엄밀한 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• BMAP/GI/1 재시도 대기열의 정적 대기열 길이에 대해 스토하스틱 분해 유사 표현을 유도하여, 이를 유휴 기간 대기열 길이와 표준 BMAP/GI/1 대기열과 관련된 성분으로 분리한다.
• 재시도 모델에서 대기열 길이 분포의 尾 행동을 분석하기 위해 행렬 해석 방법을 적용한다.
• 레벨 의존성 M/G/1 유형 마르코프 체인에 대한 하위지수 渐近적 성질에 관한 핵심 보조정리를 사용하며, 이는 이 클래스에 대해 처음으로 알려진 결과이다.
• 하위지수 분포 성질을 활용하여 행렬 수열의 상한 및 하한 극한을 이용해 尾 확률을 유계화한다.
• 행렬 수열과 하위지수 감쇠율을 포함하는 부등식을 통해 尾 확률의 수렴성을 확립한다.
• 부등호 B.1 및 B.2(부록 참조)를 통해 하위지수 尾를 가진 행렬 수열의 콘볼루션 성질을 체계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BMAP/GI/1 재시도 대기열의 정적 대기열 길이 분포는 해당 표준 BMAP/GI/1 대기열과 동일한 하위지수 尾 행동을 보이는가?
• RQ2 M^X/GI/1 재시도 대기열에 대해 알려진 스토하스틱 분해 결과는 BMAP/GI/1 재시도 대기열 모델로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 배치 크기 분포가 두꺼운 尾일 경우, 하위지수 尾 등가성이 유지되는가? 즉, 경량 배치 크기 가정이 필요하지 않은가?
• RQ4 레벨 의존성 M/G/1 유형 마르코프 체인의 정적 분포에 대한 渐近 행동은 무엇인가? 이때 하위지수 尾 조건이 만족된다.
• RQ5 행렬 해석 기법을 사용하여 일반적인 재시도 대기열 시스템에서 배치 마르코프 도착을 가진 하위지수 渐近적 성질을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• BMAP/GI/1 재시도 대기열의 정적 대기열 길이 분포는 표준 BMAP/GI/1 대기열과 하위지수 등가이며, 즉 x→∞ 일 때 P(L^{(μ)}>x) ~ P(L^{(∞)}>x) 이다.
• 스토하스틱 분해 유사 결과는 재시도 대기열 길이를 유휴 기간 대기열 길이와 표준 대기열과 연결된 성분으로 분리하여 尾 분석을 가능하게 한다.
• 핵심 보조정리는 레벨 의존성 M/G/1 유형 마르코프 체인의 정적 분포에 대한 처음으로 알려진 하위지수 渐近 공식을 제공한다.
• 배치 크기 분포가 경량이 아니어도 尾 등가 결과가 성립하며, 이는 Yamamuro(2012)의 M^X/GI/1 재시도 대기열 결과와 달리, 경량 배치 크기 가정이 필요하지 않다.
• 부등호 B.1 및 B.2는 하위지수 尾를 가진 행렬 수열에 대한 渐近 콘볼루션 규칙을 확립하여 정밀한 尾 확률 유계화를 가능하게 한다.
• 증명 기법은 행렬 부등식과 상한/하한 극한 분석에 기반하여 尾 감쇠율을 제어하며, 일반 조건 하에서 등가성을 확인한다.