[논문 리뷰] Subfactors, Planar Algebras and Rotations

Michael Burns|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 24인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 존스의 평면 대수 프레임워크를 극한 유한 지수 $\mathrm{II}_1$ 부분대수에서 일반적인 유형의 유한 지수 부분대수로 확장한다. 이를 위해 라돈-니코다임 미분에 의해 지배되는 보정 항을 통해 회전을 포함하는 강성 $\mathrm{C}^*$-평면 대수를 도입한다. 이는 모든 강성 $\mathrm{C}^*$-평면 대수가 비일반적인 조건 기대를 갖춘 유한 지수 $\mathrm{II}_1$ 부분대수의 표준 불변량으로서 나타남을 증명하며, 근사적으로 극한인 경우에 무한 지수 부분대수의 $L^2$-공간에 주기적인 회전 연산자를 구성한다.

ABSTRACT

Growing out of the initial connections between subfactors and knot theory that gave rise to the Jones polynomial, Jones' axiomatization of the standard invariant of an extremal finite index $II_1$ subfactor as a spherical $C^*$-planar algebra, presented in arXiv:math.QA/9909027, is the most elegant and powerful description available. We make the natural extension of this axiomatization to the case of finite index subfactors of arbitrary type. We also provide the first steps toward a limited planar structure in the infinite index case. The central role of rotations, which provide the main non-trivial part of the planar structure, is a recurring theme throughout this work. In the finite index case the axioms of a $C^*$-planar algebra need to be weakened to disallow rotation of internal discs, giving rise to the notion of a rigid $C^*$-planar algebra. We show that the standard invariant of any finite index subfactor has a rigid $C^*$-planar algebra structure. We then show that rotations can be re-introduced with associated correction terms entirely controlled by the Radon-Nikodym derivative of the two canonical states on the first relative commutant, $N' \cap M$. By deforming a rigid $C^*$-planar algebra to obtain a spherical $C^*$-planar algebra and lifting the inverse construction to the subfactor level we show that any rigid $C^*$-planar algebra arises as the standard invariant of a finite index $II_1$ subfactor equipped with a conditional expectation, which in general is not trace preserving. Jones' results thus extend completely to the general finite index case. We conclude by applying our machinery to the $II_1$ case, shedding new light on the rotations studied by Huang [11] and touching briefly on the work of Popa [29]. (continued in article)

연구 동기 및 목표

• 극한 $\mathrm{II}_1$ 부분대수에서 유한 지수 부분대수로 존스의 평면 대수 프레임워크를 일반화하기 위해.
• 일반적인 유한 지수 부분대수에서 완전한 회전 대칭성이 부재함을 해결하기 위해 라돈-니코다임 미분을 통한 보정 항을 도입하기 위해.
• 근사적으로 극한인 조건 하에 무한 지수 부분대수의 $L^2$-공간에 주기적인 회전 연산자를 구성함으로써 무한 지수 부분대수에 대한 평면 대수 구조를 시작하기 위해.
• 무한 지수 $\mathrm{II}_1$ 부분대수의 표준 불변량이 두 번째 상대환에서 유형 $\mathrm{III}$ 중심 합성부를 포함할 수 있음을 보여주며, 이는 $L^2$-공간에서는 보이지 않는다는 것을 밝히기 위해.

제안 방법

• 내부 디스크 회전이 허용되지 않는 유한 지수 부분대수의 표준 불변량을 모델링하기 위해 강성 $\mathrm{C}^*$-평면 대수의 개념을 도입하기 위해.
• $N' \cap M$에서 두 개의 표준 상태의 라돈-니코다임 미분을 사용하여 회전 대칭성을 복원하는 데 보정 항을 정의하기 위해.
• 강성 $\mathrm{C}^*$-평면 대수를 구부려 구면 $\mathrm{C}^*$-평면 대수로 변형하고, 역구성 과정을 부분대수 수준으로 올리기 위해.
• 근사적으로 극한인 무한 지수 $\mathrm{II}_1$ 부분대수의 표준 불변량의 $L^2$-공간에 주기적인 회전 연산자를 구성하기 위해.
• 상대적 텐서곱과 연산자 값 가중치를 사용하여 기본 구성에서 상대환의 구조를 분석하기 위해.
• 모듈러 이론과 폭스 공간 위에서 자유군 $\mathbb{F}_\infty$의 작용을 적용하여 $N' \cap M_1$의 구조를 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평면 대수 프레임워크는 극한 $\mathrm{II}_1$ 부분대수를 초월하여 일반적인 유한 지수 부분대수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 내부 디스크 회전이 금지된 경우 유한 지수 부분대수의 평면 대수 구조에 어떻게 회전을 복원할 수 있는가?
• RQ3 무한 지수 부분대수의 $L^2$-공간에 회전 연산자가 존재하기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 무한 지수 부분대수의 표준 불변량이 두 번째 상대환에서 유형 $\mathrm{III}$ 초점 인자를 포함할 수 있으며, 만약 그렇다면 이는 평면 대수 구성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 유한 지수 부분대수는 존스의 원래 프레임워크를 일반화한 강성 $\mathrm{C}^*$-평면 대수의 구조를 갖는다.
• 라돈-니코다임 미분에 의해 완전히 결정되는 보정 항을 통해 강성 $\mathrm{C}^*$-평면 대수에 회전을 복원할 수 있다.
• 모든 강성 $\mathrm{C}^*$-평면 대수는 반드시 추적을 보존하지 않는 조건 기대를 갖춘 유한 지수 $\mathrm{II}_1$ 부분대수의 표준 불변량으로서 나타난다.
• 근사적으로 극한인 무한 지수 $\mathrm{II}_1$ 부분대수의 표준 불변량의 $L^2$-공간에 주기적인 회전 연산자가 존재한다.
• 근사적으로 극한인 조건은 $L^2$-공간에 이러한 회전 연산자가 존재하기 위해 필수적이고 충분한 조건이다.
• 표준 불변량에서 $N' \cap M_1$에 유형 $\mathrm{III}$ 중심 합성부를 포함하는 $\mathrm{II}_1$ 부분대수가 존재하며, 이는 무한 지수 표준 불변량이 $L^2$-공간을 초월한 복잡성의 잠재력을 보여준다.