[논문 리뷰] Subgraph discrepancies in the complete graph

Micha Christoph, Lior Gishboliner외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 03.

Mathematical Approximation and Integration인용 수 0

한 줄 요약

논문은 트리에서 일반적인 최대 차수와 고립 정점이 없는 n-정점 그래프로의 불일치 결과를 확장하고, K_n에서 임의의 2-색으로의 복사에 대한 복사 불일치의 하한을 보이고, d-정규 그래프, K_k-팩터, 및 2-팩터에 대한 최적 상수들을 분석한다.

ABSTRACT

Given a 2-edge-coloring $f : E(K_n) ightarrow \{\pm 1\}$, the discrepancy of a subgraph $F \subseteq K_n$ is defined as $\left| \sum_{e \in E(F)} f(e) ight|$. Erdős, Füredi, Loebl and Sós showed that if $F$ is an $n$-vertex tree with maximum degree at most $(1-\varepsilon)n$, then every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy $Ω(\varepsilon)n$. We extend this result by showing that the same conclusion holds for every $n$-vertex graph with maximum degree at most $(1-\varepsilon)n$ and no isolated vertices. We also show that for every $d$-regular $n$-vertex graph $F$ with $d \leq (1-\varepsilon)n$, every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy $Ω(\sqrt{\varepsilon d}) \cdot n$. The dependence on $d$ and $n$ is best possible. Finally, we consider specific graphs $F$, namely $K_r$-factors and 2-factors. For each such graph $F$, we determine the optimal constant $λ$ such that every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy at least $(λ+ o(1))n$.

연구 동기 및 목표

• 트리에서 임의의 n-정점 그래프로 일반화: 최대 차수 ≤ (1-ε)n 및 고립 정점이 없는 그래프에 대한 불일치 결과.
• 정규 및 비정규 F에 대해 K_n의 2-색칠에서 F의 복사에 대한 불일치의 하한을 확립.
• K_k-팩터 및 2-팩터에 대한 최적 상수와 불일치 제약 하의 극값 구성 탐구.

제안 방법

• F와 호스트 그래프 G의 편향 이등분을 사용하여 높은 불일치를 갖는 임베딩을 도출한다 (Lemma 2.1).
• 주요 임베딩 보조 정리( Lemma 2.8) 가능하도록 guest-good 및 host-good 프레임워크(Definitions 2.6 및 2.7)를 개발한다.
• 엣지 개수 편차를 제어하기 위해 확률적 방법과 초기적/초기확률적 방법을 사용한다( Lemmas 2.9–2.13).
• F와 G의 이등분 결과를 결합한다( Theorems 2.4–2.5) with 주된 보조정리를 사용하여 Theorems 1.1 및 1.2를 증명한다.
• K_k-팩터와 2-팩터에 대한 최악의 구성으로서 특히 이분 그래프 구성 등을 탐구하여 최악의 구성들을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ω(ε n) 차이 bound가 트리에 대해 성립하는 것을 모든 Δ(F) ≤ (1-ε)n 및 고립 정점이 없는 그래프에 확장할 수 있는가?
• RQ2 K_n의 2-색칠에서 d-정규 그래프의 차이에 대한 정확한 의존성은 무엇인가?
• RQ3 K_n의 2-색칠에서 2-팩터들의 Monochromatic 엣지 수에 대한 최적 상수 λ_k는 무엇인가?
• RQ4 2-팩터들(및 해밀턴 순환)이 모든 n-정점 2-팩터들에 대해 동일한 (2/3 − o(1))n 차이 bound를 허용하는가?
• RQ5 F-팩터 및 F-구조에 대한 이러한 상한을 달성하는 최적의 극값 구성(예: 이분구조)을 무엇인가?

주요 결과

• 모든 ε>0 및 충분히 큰 n에 대해 Δ(F) ≤ (1-ε)n 및 고립 정점이 없는 모든 n-정점 그래프 F는 K_n에서 차이가 최소 c·ε n (c>0는 보편적)인 복사를 가진다.
• 모든 ε>0 및 충분히 큰 n에 대해 d ≤ (1-ε)n인 d-정규 n-정점 그래프 F는 K_n에서 차이가 최소 c√(ε d) n인 복사를 가지며, 이는 상수에 대해 최적이다.
• K_k-팩터의 경우, K_n의 임의의 2-색칠은 (λ_k − o(1)) n개의 같은 색의 엣지를 갖는 K_k-팩터를 포함하는데, λ_k는 이분 그래프 극한 구성에 의해 정의된다.
• n-정점의 2-팩터의 경우, K_n의 임의의 2-색칠은 (2/3 − o(1)) n개의 같은 색의 엣지를 갖는 F의 복사를 포함하며, 상수 2/3은 최적이다(이분구조에 의해 달성된다).
• 이 결과들은 트리, 매칭, 해밀턴 순환, 팩터에 대한 초기의 불일치 결과를 일반 그래프의 대규모 스팬 구성 F에 대해 통일하고 확장한다.