[논문 리뷰] Subgroups and strictly closed invariant C*-subalgebras

Pekka Salmi|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 콪그룹 $G$ 의 닫힌 부분군과 $\mathrm{C}_b(G)$ 의 엄격하게 닫힌, 왼쪽으로 불변하는 C*-부분대수 사이의 일대일 대응을 수립한다. 아메니티브인 $G$ 에 대해서는, 닫힌 부분군과 줄리어스 그룹 C*-대수 $\mathrm{C}_r^*(G)$ 의 이중자 대수 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 의 엄격하게 닫힌 불변 C*-부분대수 사이의 일대일 대응도 제시한다. 주요 기여는 C*-대수 해석 기하학에서 이러한 특성화를 위한 적절한 프레임워크로 노름 위상 대신 엄격 위상이 필수적임을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

We characterise the strictly closed left invariant C*-subalgebras of the C*-algebra C_b(G) of bounded continuous functions on a locally compact group G. On the dual side, we characterise the strictly closed invariant C*-subalgebras of the multiplier algebra of the reduced group C*-algebra C*_r(G) when G is amenable. In both cases, these C*-subalgebras correspond to closed subgroups of G.

연구 동기 및 목표

• 국소 콱그룹 $G$ 에 대해 $\mathrm{C}_b(G)$ 의 엄격하게 닫힌, 왼쪽으로 불변하는 C*-부분대수를 특성화하는 것.
• G 가 아메니티브일 경우, 이 특성화를 줄리어스 그룹 C*-대수 $\mathrm{C}_r^*(G)$ 의 이중자 대수로 확장하는 것.
• 노름으로 닫힌 부분대수의 한계를 해결하기 위해 엄격 위상을 도입함으로써, 노름으로 닫힌 부분대수는 오직 컴팩트 또는 열린 부분군만을 대응시킬 수 있음을 해결하는 것.
• 닫힌 부분군과 이중자 대수 설정에서 엄격하게 닫힌 불변 C*-부분대수 사이의 쌍대성을 수립하는 것.

제안 방법

• 원래 C*-대수의 원소 $a$ 에 대해 $x \mapsto \|xa\|$ 와 $x \mapsto \|ax\|$ 를 생성하는 엄격 위상의 이중자 대수 적용.
• 엄격한 스톤-바이어스트라스 정리를 적용하여, 점을 분리하는 엄격하게 닫힌 부분대수는 반드시 전체 대수임을 보임.
• $\mathrm{C}_b(G/H)$ 에서 $\{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ for all } s \in H\}$ 로의 엄격하게 연속적인 $*$-동형사상 $\pi$ 를 구성함.
• 왼쪽 정규 표현 $\lambda: G \to \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 와 그 이중자 대수로의 확장을 엄격 연속성으로 활용함.
• $\mathrm{A}(G)$ 에서 유계 근사 항등원의 존재를 활용하여, 컴팩트 지지 원소에서 일반 원소로의 결과 확장.
• H 가 닫혀 있고 G 가 아메니티브일 경우, 지원 조건 $\operatorname{supp}x \subseteq H$ 가 불변 부분대수 $X$ 를 특성화함을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격 위상 하에서 $\mathrm{C}_b(G)$ 의 어떤 C*-부분대수가 $G$ 의 닫힌 부분군과 대응되는가?
• RQ2 G 가 아메니티브일 경우, $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 의 엄격하게 닫힌 불변 C*-부분대수는 닫힌 부분군과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 왜 노름 위상은 C*-대수적 설정에서 모든 부분군을 포괄하지 못하며, 엄격 위상은 이를 어떻게 해결하는가?
• RQ4 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 와 부분대수 $\{x \in \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G)) : \operatorname{supp}x \subseteq H\}$ 사이의 $*$-동형사상이 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 에서 엄격하게 닫혀 있는가?
• RQ5 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 의 모든 함수해석이 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 에서 엄격하게 연속적인 함수해석으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 국소 콱그룹 $G$ 의 닫힌 부분군 $H$ 와 엄격하게 닫히고 왼쪽으로 불변하는 $\mathrm{C}_b(G)$ 의 C*-부분대수 $X \subseteq \mathrm{C}_b(G)$ 사이에 일대일 대응이 존재하며, 이때 $X = \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ for all } s \in H\}$ 이다.
• G 가 아메니티브일 경우, 닫힌 부분군 $H$ 와 엄격하게 닫히고 불변하는 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 의 C*-부분대수 $X \subseteq \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 사이에 일대일 대응이 존재하며, 이때 $X = \{x \in \mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G)) : \operatorname{supp}x \subseteq H\}$ 이다.
• 엄격 위상은 이러한 쌍대성에 필수적이다. 노름으로 닫힌 부분대수는 오직 컴팩트 또는 열린 부분군만을 포괄하기 때문이다.
• $\pi: \mathrm{C}_b(G/H) \to \{f \in \mathrm{C}_b(G) : R_s f = f \text{ for all } s \in H\}$ 는 엄격하게 연속적인 $*$-동형사상이다.
• $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 에서 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 로의 임bedding $\pi$ 의 범위는 해당 부분대수 $X$ 에 대해 엄격하게 조밀하지만, 그것이 엄격하게 닫혀 있는지는 알려져 있지 않다.
• $\pi$ 가 엄격하게 위상 동형이 아니므로, $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(H))$ 의 모든 함수해석이 $\mathrm{M}(\mathrm{C}_r^*(G))$ 에서 엄격하게 연속적인 함수해석으로 확장되지 않으며, 이는 $\mathbb{R}$ 위의 애프린 군과 같은 군에서의 반례로 보여진다.