[논문 리뷰] Subgroups of Spin(7) or SO(7) with each element conjugate to some element of G_2, and applications to automorphic forms

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Spin(7)의 부분군 중 각 원소가 G₂의 원소와 콘jugate인 경우, 그 부분군 자체가 G₂의 부분군과 콘jugate여야 한다는 것을 증명한다. 이와 달리 SO(7)의 경우 이와 유사한 명제는 성립하지 않으며, 이에 대한 예외는 GL₂(ℤ/3ℤ), SL₂(ℤ/3ℤ), ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ, 그리고 컴팩트 닫힘과 유사도 인자군 {±1}을 가지며 이중체군(이중체군)과 동형이 아닌 GO₂(ℂ)의 비아벨 부분군들이다. 이러한 결과는 자동형형식과 갈루아 표현에 응용되어, GL₇의 ℓ-진 갈루아 표현이 G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)로 콘jugate가 되기 위한 필요 및 충분한 국소 조건을 제공한다.

ABSTRACT

As is well-known, the compact groups Spin(7) and SO(7) both have a single conjugacy class of compact subgroups of exceptional type G_2. We first show that if H is a subgroup of Spin(7), and if each element of H is conjugate to some element of G_2, then H itself is conjugate to a subgroup of G_2. The analogous statement for SO(7) turns out be false, and our main result is a classification of all the exceptions. They are the following groups, embedded in each case in SO(7) in a very specific way: GL_2(Z/3Z), SL_2(Z/3Z), Z/4Z x Z/2Z, as well as the nonabelian subgroups of GO_2(C) with compact closure, similitude factors group {-1,1}, and which are not isomorphic to the dihedral group of order 8. More generally, we consider the analogous problems in which the Euclidean space is replaced by a quadratic space of dimension 7 over an arbitrary field. This type of questions naturally arises in some formulation of a converse statement of Langlands' global functoriality conjecture, to which the results above have thus some applications. Moreover, we give necessary and sufficient local conditions on a cuspidal algebraic regular automorphic representation of GL_7 over a totally real number field so that its associated \ell-adic Galois representations can be conjugate into G_2(\bar{Q_\ell}).

연구 동기 및 목표

• Spin(7) 또는 SO(7)의 부분군 Γ가 각 원소가 어떤 G₂-부분군의 원소와 콘jugate일 때, Γ가 G₂-부분군과 콘jugate가 되는 조건을 규명하는 것.
• SO(7)에서 스피너(스피너) 결과의 명백한 일반화가 실패하는 예외를 분류하는 것.
• 특히 이차형식과 옥타니온 대수를 포함한, 임의의 체 위에서의 결과 일반화.
• 랭랜즈의 전역 함수성 추측에 결과를 적용하며, 특히 자동형형식의 맥락에서 고려하는 것.
• 전체 실수 체 위의 GL₇에 대한 극대 정규 대칭 자동형형식의 ℓ-진 갈루아 표현이 G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)로 콘jugate가 되기 위한 필요 및 충분한 국소 조건을 유도하는 것.

제안 방법

• 8차원 스피너 표현 W와 SO(7)의 표준 7차원 표현 E를 사용하여, 각 γ ∈ Γ가 W에서 영이 아닌 벡터를 고정하고 det(t−γ|W) = (t−1)det(t−γ|E)를 만족하면, Γ가 W에서 영이 아닌 벡터를 고정함을 보임.
• G₂-부분군은 스피너 표현 W에서 영이 아닌 벡터의 안정화군임을 이용하여, Γ가 G₂-부분군과 콘jugate임을 유추함.
• 임의의 체 k 위에서 일반화하기 위해 7차원 비퇴화 이차형식 공간 E와 E에 대한 스피너 모듈 W를 고려하고, 다음 세 조건이 동치임을 증명함: (a) Γ의 각 원소가 G₂-부분군에 속함, (b) 모든 γ ∈ Γ에 대해 det(1−γ|W)=0, (c) Γ가 G₂-부분군에 포함됨.
• 복소수 표현을 통한 Γ의 SO(7)로의 구체적 매립을 구성함: ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ, GL₂(ℤ/3ℤ), O(2)±에 대해, 각 원소는 G₂-부분군에 속하지만 전체 군은 어떤 G₂-부분군에도 포함되지 않음.
• 체 k 위에서 옥타니온 대수의 이론을 활용하여 Spin(E)와 SO(E)에서 G₂-부분군를 정의하고, 존재할 경우 이들이 SO(E)에 의해 모두 콘jugate임을 보임.
• 결과를 자동형형식에 적용하기 위해, G 위의 극점 형식 φ로부터 커버링 군 G̃ 위의 극점 형식 ψ를 구축함. 이는 당김과 평균화를 통해 이루어지며, φ가 극점 형식이면 ψ도 극점 형식이며, φ가 일반형이면 ψ도 일반형임을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Spin(7)의 부분군 Γ가 각 원소가 어떤 G₂-부분군의 원소와 콘jugate일 때, Γ가 G₂-부분군과 콘jugate가 되는 조건은 무엇인가요?
• RQ2 SO(7)에 대해 유사한 명제가 실패하는 이유는 무엇이며, 정확한 예외는 무엇인가요?
• RQ3 모든 원소가 G₂-부분군의 원소와 콘jugate이지만, 전체 군이 어떤 G₂-부분군에도 포함되지 않는 SO(7)의 부분군의 완전한 분류는 무엇인가요?
• RQ4 ℝ 위에서의 결과를 이차형식과 옥타니온 대수의 관점에서 임의의 체로 일반화할 수 있는가요?
• RQ5 전체 실수 체 위의 GL₇에 대한 극대 정규 대칭 자동형형식의 ℓ-진 갈루아 표현이 G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)로 콘jugate가 되기 위한 필요 및 충분한 국소 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• Spin(7)의 부분군에 대해서는, 각 원소가 G₂-부분군의 원소와 콘jugate이면 전체 부분군이 G₂-부분군과 콘jugate임을 보여주는 강력한 고정성 결과이다.
• SO(7)에서는 유사한 명제가 실패하며, 예외는 정확히 GL₂(ℤ/3ℤ), SL₂(ℤ/3ℤ), ℤ/4ℤ×ℤ/2ℤ, 그리고 컴팩트 닫힘과 유사도 인자군 {±1}을 가지며 이중체군과 동형이 아닌 GO₂(ℂ)의 비아벨 부분군들이다.
• 예외의 분류는 복소수 표현이 비자명한 성분이나 차수 ≤2의 기약 표현의 합으로 분해되는 특정 군 준동형사상 SO(7)로 이루어진다.
• 임의의 체 k 위에서, W가 k[Γ]-모듈로 반단순일 경우 다음 세 조건이 동치임을 보였다: (a) Γ의 각 γ가 G₂-부분군에 속함, (b) 모든 γ ∈ Γ에 대해 det(1−γ|W)=0, (c) Γ가 G₂-부분군에 포함됨.
• 결과는 전체 실수 체 위의 GL₇에 대한 극대 정규 대칭 자동형형식의 ℓ-진 갈루아 표현이 G₂(ℌ̄ℚ_ℓ)로 콘jugate가 되기 위한 필요 및 충분한 국소 조건을 제공한다.
• 커버링 군을 통한 자동형형식의 구축은, φ의 당김이 부드럽고 천천히 증가하면 ψ가 극점 형식이며, φ가 일반형이면 ψ도 일반형임을 보여준다.