[논문 리뷰] Sublinear Algorithms and Lower Bounds for Estimating MST and TSP Cost in General Metrics

Yu Chen, Sanjeev Khanna외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 28.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 일반 거리공간에서 최소 스패닝 트리(MST) 및 순회 salesperson 순회(TSP) 비용을 추정하기 위한 비선형 공간 및 비선형 쿼리 알고리즘을 제시한다. '커버 이점'이라는 개념을 도입하여 MST를 오일러 그래프로 전환하는 데 드는 비용을 추정하며, 이는 두 번의 스트림 패ass에서 TSP에 대해 (1.96)-근사값을 달성하고, 일반 거리공간에서도 Õ(n^1.5) 쿼리로 2보다 우수한 근사값을 달성한다.

ABSTRACT

We consider the design of sublinear space and query complexity algorithms for estimating the cost of a minimum spanning tree (MST) and the cost of a minimum traveling salesman (TSP) tour in a metric on n points. We start by exploring this estimation task in the regime of o(n) space, when the input is presented as a stream of all binom(n,2) entries of the metric in an arbitrary order (a metric stream). For any α ≥ 2, we show that both MST and TSP cost can be α-approximated using Õ(n/α) space, and moreover, Ω(n/α²) space is necessary for this task. We further show that even if the streaming algorithm is allowed p passes over a metric stream, it still requires Ω̃(√{n/α p²}) space. We next consider the well-studied semi-streaming regime. In this regime, it is straightforward to compute MST cost exactly even in the case where the input stream only contains the edges of a weighted graph that induce the underlying metric (a graph stream), and the main challenging problem is to estimate TSP cost to within a factor that is strictly better than 2. We show that in graph streams, for any ε > 0, any one-pass (2-ε)-approximation of TSP cost requires Ω(ε² n²) space. On the other hand, we show that there is an Õ(n) space two-pass algorithm that approximates the TSP cost to within a factor of 1.96. Finally, we consider the query complexity of estimating metric TSP cost to within a factor that is strictly better than 2 when the algorithm is given access to an n × n matrix that specifies pairwise distances between n points. The problem of MST cost estimation in this model is well-understood and a (1+ε)-approximation is achievable by Õ(n/ε^{O(1)}) queries. However, for estimating TSP cost, it is known that an analogous result requires Ω(n²) queries even for (1,2)-TSP, and for general metrics, no algorithm that achieves a better than 2-approximation with o(n²) queries is known. We make progress on this task by designing an algorithm that performs Õ(n^{1.5}) distance queries and achieves a strictly better than 2-approximation when either the metric is known to contain a spanning tree supported on weight-1 edges or the algorithm is given access to a minimum spanning tree of the graph. Prior to our work, such results were only known for the special cases of graphic TSP and (1,2)-TSP. In terms of techniques, our algorithms for metric TSP cost estimation in both streaming and query settings rely on estimating the cover advantage which intuitively measures the cost needed to turn an MST into an Eulerian graph. One of our main algorithmic contributions is to show that this quantity can be meaningfully estimated by a sublinear number of queries in the query model. On one hand, the fact that a metric stream reveals pairwise distances for all pairs of vertices provably helps algorithmically. On the other hand, it also seems to render useless techniques for proving space lower bounds via reductions from well-known hard communication problems. Our main technical contribution in lower bounds is to identify and characterize the communication complexity of new problems that can serve as canonical starting point for proving metric stream lower bounds.

연구 동기 및 목표

• . 일반 거리공간에서 MST 및 TSP 비용을 추정하기 위한 비선형 공간 및 쿼리 복잡도 알고리즘을 설계한다.
• . 스트리밍 및 쿼리 모델에서 MST 및 TSP 비용을 근사하기 위한 공간 및 쿼리 복잡도 하한을 확립한다.
• . TSP 비용 추정을 위한 비선형 환경에서의 핵심 도구로 '커버 이점'이라는 새로운 개념을 도입하고 이를 활용한다.
• . 일반 거리공간에서 o(n²) 공간 및 쿼리로 (2−ε)-근사값을 달성하는 TSP 비용에 대한 열린 문제를 해결한다.
• . 메트릭 스트림 하한을 증명하기 위한 새로운 통신 복잡도 특성화를 제공한다.

제안 방법

• . MST를 오일러 그래프로 만들기 위한 비용을 측정하는 '커버 이점'을 도입하여, MST와 TSP 비용 간의 격차를 포괄한다.
• . 두 번의 스트림 패스를 사용하는 알고리즘으로 간선 커버를 재구성하고, MST의 구조를 활용하여 TSP 비용을 1.96 이내로 근사한다.
• . Õ(n^1.5) 거리 쿼리를 수행하는 쿼리 기반 알고리즘을 활용하며, 가중치 1인 간선에 대한 스패닝 트리가 존재하거나 MST에 접근 가능하다는 가정을 한다.
• . 국소 탐색, BFS 및 부분 그래프 재구성 기법을 활용한 서브루틴 프레임워크를 설계하여 비선형 쿼리로 커버 이점을 추정한다.
• . 고전적 난이도 문제로의 감소를 피하기 위해 메트릭 스트림에 특화된 새로운 통신 복잡도 문제를 통해 하한을 증명한다.
• . 정보 복잡도 및 확률적 추론을 활용하여, 한 번의 스트림 패스에서 (2−ε)-근사값을 달성하기 위한 공간 하한이 Ω(ε²n²)임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 일반 메트릭 스트림에서 한 번의 스트림 패스로 o(n²) 공간을 사용하여 TSP 비용을 2보다 우수한 요소로 근사할 수 있는가?
• RQ2 . 일반 거리공간에서 TSP 비용에 대해 (2−ε)-근사값을 달성하는 비선형 쿼리 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 . 메트릭 스트림에서 한 번의 스트림 패스로 MST 및 TSP 비용 추정에 있어서 공간과 근사 비율 간의 최적 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 . 커버 이점 개념을 활용하여 스트리밍 및 쿼리 모델 양쪽에서 TSP 비용 추정을 위한 효율적인 비선형 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 . 메트릭 스트림 알고리즘에 대해 강력한 하한을 증명하기 위해 필요한 새로운 통신 복잡도 문제들은 무엇인가?

주요 결과

• . ˜O(n) 공간의 두 번의 스트림 패스 알고리즘이 그래프 스트림에서 TSP 비용에 대해 1.96-근사값을 달성한다.
• . 그래프 스트림에서 한 번의 스트림 패스로 (2−ε)-근사값을 달성하기 위해서는 Ω(ε²n²) 공간이 필요하며, 이는 엄밀한 하한을 확립한다.
• . Õ(n^1.5) 쿼리를 사용하는 비선형 쿼리 알고리즘이 일반 거리공간에서 TSP 비용에 대해 2보다 우수한 근사값을 달성한다. 이는 가중치 1인 간선에 대한 스패닝 트리가 존재하거나 MST에 접근 가능하다는 가정 하에 성립한다.
• . 본 논문은 한 번의 스트림 패스에서 MST 및 TSP 비용을 α-근사값으로 근사하기 위한 거의 엄밀한 공간 하한 ˜Ω(n/α²)을 확립한다.
• . p-패스 스트리밍 알고리즘의 경우 공간 복잡도는 ˜Ω(√(n/αᵖ²))로 나타나며, 이는 다중 패스가 공간 요구를 크게 줄이지 못함을 보여준다.
• . 본 논문은 메트릭 스트림 하한을 증명하기 위한 새로운 기준점이 되는 통신 문제를 규명하고 특성화한다.