[논문 리뷰] Sublinear Algorithms for MAXCUT and Correlation Clustering

Aditya Bhaskara, Samira Daruki외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 평균 차수 $ n^\delta $인 그래프에서 MAXCUT 및 상관관계 클러스터링을 위한 비선형 알고리즘을 제안하며, $ \tilde{O}(n^{1-\delta}) $ 크기의 코어셋을 구성하기 위해 새로운 편향된 샘플링 기법을 사용한다. 이 방법을 통해 평균 차수 $ n^\delta $인 그래프에서 $ \tilde{O}(n^{1-\delta}) $ 공간을 사용하는 2패스 스트리밍 알고리즘을 설계하여 $ (1+\varepsilon) $-근사값을 달성할 수 있으며, 이는 지수적 시간 가설(ETH) 하에 최적이다.

ABSTRACT

We study sublinear algorithms for two fundamental graph problems, MAXCUT and correlation clustering. Our focus is on constructing core-sets as well as developing streaming algorithms for these problems. Constant space algorithms are known for dense graphs for these problems, while $Ω(n)$ lower bounds exist (in the streaming setting) for sparse graphs. Our goal in this paper is to bridge the gap between these extremes. Our first result is to construct core-sets of size $ ilde{O}(n^{1-δ})$ for both the problems, on graphs with average degree $n^δ$ (for any $δ>0$). This turns out to be optimal, under the exponential time hypothesis (ETH). Our core-set analysis is based on studying random-induced sub-problems of optimization problems. To the best of our knowledge, all the known results in our parameter range rely crucially on near-regularity assumptions. We avoid these by using a biased sampling approach, which we analyze using recent results on concentration of quadratic functions. We then show that our construction yields a 2-pass streaming $(1+ε)$-approximation for both problems; the algorithm uses $ ilde{O}(n^{1-δ})$ space, for graphs of average degree $n^δ$.

연구 동기 및 목표

• 밀도 높은 그래프(공간 $ O(1) $)와 희박한 그래프(공간 $ \Omega(n) $) 사이의 비선형 알고리즘 격차를 메우기 위해, $ \delta > 0 $ 인 평균 차수 $ n^\delta $를 갖는 그래프에 초점을 맞춘다.
• MAXCUT 및 상관관계 클러스터링을 위한 코어셋 구축 방법을 개발하여 크기 최적화와 비정규 구조 그래프에 대한 강건성을 동시에 확보한다.
• 평균 차수 $ n^\delta $인 그래프에서 $ \tilde{O}(n^{1-\delta}) $ 공간을 사용하는 2패스 스트리밍 알고리즘을 설계하여 $ (1+\varepsilon) $-근사값을 달성한다.
• 이전의 부분 샘플링 기법이 근사적으로 정규 구조를 가정하는 데 의존하는 한계를 극복하기 위해, 편향된 샘플링 접근법을 도입한다.

제안 방법

• 정점의 차수 비례 확률로 선택하는 편향된 샘플링 방법을 제안하여 근사적으로 정규 구조를 가정하지 않는다.
• 이차형식에 대한 농도 경계를 활용하여 샘플링이 최적화 목표에 미치는 영향을 분석하며, 특히 베르누이-유사 부등식을 활용한다.
• MAXCUT 및 상관관계 클러스터링에 대해 이중 기반 분석을 도입하여 원본 그래프와 샘플된 그래프의 선형계획법(LP) 이중 해를 비교한다.
• 샘플된 부분그래프가 이중 목표를 $ \varepsilon $-요소 이내로 유지할 수 있도록 보장하기 위해 '좋은 조건화' 사건을 도입하며, 이는 간선 가중치와 변수의 유계성에 기반한다.
• 이중 목표의 차이를 제어하기 위해 하이브리드 항 분해를 적용하여 정점 샘플링과 간선 가중치 기여도 항을 분리한다.
• 이차 함수에 대한 농도 경계의 블랙박스 적용을 통해 샘플된 목표치가 원래 목표치에서 벗어나지 않도록 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 평균 차수 $ n^\delta $인 그래프에서 $ \delta > 0 $ 인 경우, $ o(n) $ 공간을 사용하여 MAXCUT 및 상관관계 클러스터링에 대해 $ (1+\varepsilon) $-근사값을 달성할 수 있는 비선형 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 크기 $ \tilde{O}(n^{1-\delta}) $인 코어셋이 이러한 그래프에서 MAXCUT 및 상관관계 클러스터링에 대해 $ (1+\varepsilon) $-근사값을 달성하는 데 충분한가? 이 크기는 최적인가?
• RQ3 편향된 샘플링 접근법이 그래프 최적화 문제의 부분 샘플링 분석에서 근사적으로 정규 구조 가정이 필요 없도록 할 수 있는가?
• RQ4 비균일 샘플링 하에서 선형계획법(LP) 이중 목표의 행동은 어떻게 되며, 근사 보장을 확보하기 위해 이를 유계로 유지할 수 있는가?
• RQ5 코어셋 구축 방법을 2패스 스트리밍 모델에서 비선형 공간을 사용하여 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 평균 차수 $ n^\delta $인 그래프에서 MAXCUT 및 상관관계 클러스터링에 대해 $ \tilde{O}(n^{1-\delta}) $ 크기의 코어셋을 구성하며, 이는 지수적 시간 가설(ETH) 하에 로그 인자 외에는 최적이다.
• 2패스 스트리밍 알고리즘을 개발하여, $ \tilde{O}(n^{1-\delta}) $ 공간을 사용해 두 문제 모두 $ (1+\varepsilon) $-근사값을 달성하였으며, 상관관계 클러스터링의 경우 이전의 반-스트리밍 결과를 향상시켰다.
• 편향된 샘플링 접근법은 이전의 부분 샘플링 분석에서 요구하던 근사적으로 정규 구조 가정이 필요 없도록 성공적으로 해결하였다.
• 분석 결과, 높은 확률로 샘플된 그래프의 이중 목표치가 원래 목표치의 $ \tilde{O}(1/\Delta^2) $ 요소 이내에 유지됨을 보여주어 근사 보장을 확보하였다.
• 비균일 샘플링 하에서도 베르누이-형 불등식을 통한 이차형식에 대한 농도 경계를 달성하여, 샘플된 목표치가 원래 목표치에서 벗어나지 않도록 제어하였다.
• 코어셋 크기가 최적임을 증명: 더 작은 크기의 코어셋은 ETH가 허용하는 것보다 빠른 MAXCUT 알고리즘을 암시하므로, 이 경계의 날카로움이 확인된다.