[논문 리뷰] Sublinear data structures for short Fréchet queries

Anne Driemel, Ioannis Psarros외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 09.

Data Management and Algorithms참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중 공간에서 다각형 곡선에 대한 근사 이산 프리셰트 거리 질의를 위한 비선형 데이터 구조를 제안한다. 특히 쿼리 곡선이 짧을 경우(k ≪ m)에 초점을 맞춘다. 결정적 거리 오라클은 공간 복잡도 O((k log(ε⁻¹)ε⁻ᵈ)ᵏ)와 O(k²)의 쿼리 시간을 가지며, (1+ε)-근사치를 달성한다. 또한 ANN 데이터 구조는 입력 곡선 복잡도에 대한 의존도를 기하급수적으로 향상시키며, 일정한 차원 d를 가진 유클리드 공간 Rᵈ에서 (1+ε)-근사치를 달성한다.

ABSTRACT

We study metric data structures for curves in doubling spaces, such as trajectories of moving objects in Euclidean $\mathbb{R}^d$, where the distance between two curves is measured using the discrete Fréchet distance. We design data structures in an \emph{asymmetric} setting where the input is a curve (or a set of $n$ curves) each of complexity $m$ and the queries are with curves of complexity $k\ll m$. We show that there exist approximate data structures that are independent of the input size $N = d \cdot n \cdot m$ and we study how to maintain them dynamically if the input is given in the stream. Concretely, we study two types of data structures: (i) distance oracles, where the task is to store a compressed version of the input curve, which can be used to answer queries for the distance of a query curve to the input curve, and (ii) nearest-neighbor data structures, where the task is to preprocess a set of input curves to answer queries for the input curve closest to the query curve. In both cases we are interested in approximation. For curves embedded in Euclidean $\mathbb{R}^d$ with constant $d$, our distance oracle uses space in $\mathcal{O}((k \log(ε^{-1}) ε^{-d})^k)$ ($ε$ is the precision parameter). The oracle performs $(1+ε)$-approximate queries in time in $\mathcal{O}(k^2)$ and is deterministic. We show how to maintain this distance oracle in the stream using polylogarithmic additional memory. In the stream, we can dynamically answer distance queries to the portion of the stream seen so far in $\mathcal{O}(k^4 \log^2 m)$ time. We apply our techniques to the second problem, approximate near neighbor (ANN) data structures, and achieve an exponential improvement in the dependency on the complexity of the input curves compared to the state of the art.

연구 동기 및 목표

• 쿼리 곡선이 입력 곡선보다 훨씬 짧을 경우(k ≪ m)에 근사 이산 프리셰트 거리 질의를 위한 효율적인 데이터 구조를 설계하는 것.
• 특히 유클리드 공간에서 차원 d가 일정할 경우, 총 입력 크기 N = d·n·m에 의존하지 않는 비선형 공간 복잡도를 달성하는 것.
• 작은 정확도를 가진 스케치를 유지하면서도 실시간 거리 질의를 가능하게 하기 위해 입력 곡선의 동적 스트리밍 처리를 지원하는 것.
• 입력 곡선 복잡도에 대한 의존도를 줄여 이산 프리셰트 거리 기반 근사 근접 이웃(ANN) 검색의 기존 기술 수준을 향상시키는 것.
• 스트리밍 프리셰트 거리 근사에 적합한 병합-감소 기반의 조합 가능한 코어셋 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 계층적 넷 트리와 ε-넷 기반 압축을 사용하여 입력 곡선의 압축 표현을 저장하는 결정적 거리 오라클을 설계한다.
• 스트리밍 모델에서 조합 가능한 코어셋을 유지하기 위해 병합-감소 프레임워크를 적용하여 동적 업데이트를 가능하게 한다. 이는 다항로그 시간 복잡도의 추가 메모리 오버헤드를 제공한다.
• εr 커버링 볼 내의 점에 효율적으로 접근하기 위해 약한 명시적 모델을 사용하여 사전 처리 및 쿼리 시간을 줄인다.
• 쿼리 곡선을 k개의 세그먼트로 나누고, 각 세그먼트를 넷의 볼로 커버한 후, 호환 가능한 셀 시퀀스를 인덱싱한다.
• ANN에 대해, 각 셀에 대한 쿼리 대표자 해시테이블을 사용하는 랜덤화된 데이터 구조를 사용하며, 이중 성질과 넷 분해를 활용한다.
• 결정적 넷 구축과 유한 독립성을 사용하여 ANN의 랜덤성을 제거함으로써 추가 비용을 최소화하고, 동일한 쿼리 시간과 근사 보장을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼리 곡선이 짧을 경우 입력 곡선 복잡도에 의존하지 않는 공간에서 (1+ε)-근사치를 달성할 수 있는 이산 프리셰트 거리 데이터 구조를 설계할 수 있는가?
• RQ2 다항로그 시간 복잡도의 추가 메모리 오버헤드를 가진 스트리밍 환경에서 이러한 데이터 구조를 동적으로 유지할 수 있는가?
• RQ3 입력 곡선 복잡도에 대한 의존도를 기하급수적으로 줄여 이산 프리셰트 거리 기반 근사 근접 이웃 검색에서 성능을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 이중 성질과 조합 가능한 코어셋을 어떻게 활용하여 프리셰트 거리에 대한 효율적이고 스트리밍에 적합한 데이터 구조를 구축할 수 있는가?
• RQ5 비대칭 설정(k ≪ m)에서 근사 정확도, 쿼리 시간, 공간 사용량 간의 상호 상충 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 거리 오라클은 O((k log(ε⁻¹)ε⁻ᵈ)ᵏ)의 공간을 사용하며, O(k²) 시간 내에 (1+ε)-근사 쿼리를 지원하고, 결정적이다.
• 스트리밍 거리 오라클은 다항로그 시간 복잡도의 추가 메모리로 스케치를 유지하며, 지금까지의 스트림에 대해 O(k⁴ log²m) 시간 내에 (1+ε)-근사 쿼리를 지원한다.
• ANN 데이터 구조는 입력 저장소를 위한 O(dnm)와 더불어 공간 복잡도 n·O((k d³ᐟ² ε⁻¹)ᵈᵏ)를 가지며, 쿼리 시간은 O(dk)이다.
• ANN의 구조는 기존 기술 수준을 향상시켜 입력 곡선 복잡도에 대한 지수적 의존도를 O(mᵏ)에서 O((k d³ᐟ² ε⁻¹)ᵈᵏ)로 줄여 기하급수적 향상을 달성한다.
• 랜덤화된 ANN의 구조는 결정적 넷 구축과 유한 독립성을 사용하여 추가 비용을 최소화하면서도 동일한 쿼리 시간과 근사 보장을 유지하면서 랜덤성을 제거할 수 있다.
• 적절한 넷 및 분할 매개변수 설정 하에, ANN의 정확도는 확률적 증명을 통해 참 근접 이웃과 쿼리가 분리될 확률이 최대 1/10 이하임을 보여준다.