[논문 리뷰] Submetrizability of strongly topological gyrogroups

Meng Bao, Fucai Lin|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 13.

Mathematics and Applications참고 문헌 15인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $T_0$-강한 위상 구름군이 가чёт한 순차적 특성을 가지면 완전히 정규적이고 부분메트라이저블임을 증명한다. 또한 $H$가 $T_0$-강한 위상 구름군 $G$의 적합한 $L$-부구름군일 경우, 왼쪽 여부군 $G/H$가 부분메트라이저블임을 증명하며, 이는 비결합적 구름군 설정에서 위상군의 핵심 성질을 구축된 준거리와 몫위상 논증을 통해 확장한다.

ABSTRACT

Topological gyrogroups, with a weaker algebraic structure without associative law, have been investigated recently. We prove that each $T_{0}$-strongly topological gyrogroup is completely regular. We also prove that every $T_{0}$-strongly topological gyrogroup with a countable pseudocharacter is submetrizable. Finally, we prove that the left coset space $G/H$ is submetrizable if $H$ is an admissible $L$-subgyrogroup of a $T_{0}$-strongly topological gyrogroup $G$.

연구 동기 및 목표

• 위상군의 기본 위상 성질을 비결합적 구름군 설정인 강한 위상 구름군으로 확장하기 위해.
• $T_0$-강한 위상 구름군이 완전 정규성과 부분메트라이저블성 조건을 만족하는지 조사하기 위해.
• 적합한 $L$-부구름군 $H$에 대해 왼쪽 여부군 $G/H$의 위상적 구조를 규명하기 위해.
• 위상군에서 알려진 메트라이저블성 및 정규성 결과를 구름군으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 이웃성의 내재된 수열에 기반한 실수 값 함수 $N(x)$를 구성하여, 구름군 $G$ 위에 준거리 $d(x,y) = |N(x) - N(y)|$를 정의한다.
• $x \in G$ 및 $h \in H$에 대해 $N(x \bigoplus h) = N(x)$임을 증명하여, 부분군 $H$의 원소에 의한 왼쪽 이동에 대한 불변성을 보여준다.
• $G$ 위에 준거리 $d$를 정의하고, 이를 통해 $\varrho(\pi_H(x), \pi_H(y)) = d(\ominus x \oplus y, 0) + d(\ominus y \oplus x, 0)$를 정의함으로써 몫공간 $G/H$ 위에 거리함수 $\varrho$를 유도한다.
• 구름군 연산과 기울임 자동형사상의 성질을 사용하여 $\varrho$가 거리함수 공리, 특히 삼각부등식을 만족함을 검증한다.
• $\varrho$에 의해 유도된 위상이 몫위상보다 더 희박함을 보여, $G/H$의 부분메트라이저블성을 증명한다.
• 모든 완전 정규 부분메트라이저블 공간이 Dieudonné 완비임을 응용하여 완비성에 대한 추론을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $T_0$-강한 위상 구름군은 완전 정규인가?
• RQ2 $T_0$-강한 위상 구름군이 가чёт한 순차적 특성을 가질 경우, 더 약한 메트라이저블 위상을 갖는가?
• RQ3 $H$가 $G$의 적합한 $L$-부구름군일 때, 왼쪽 여부군 $G/H$가 부분메트라이저블이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 위상군의 위상 성질을 비결합적 설정인 강한 위상 구름군으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $T_0$-강한 위상 구름군은 완전 정규적이며, 이는 위상군에서 알려진 성질을 확장한 것이다.
• 가чёт한 순차적 특성을 가진 모든 $T_0$-강한 위상 구름군은 부분메트라이저블이며, 이는 더 약한 메트라이저블 위상을 갖는다는 뜻이다.
• $T_0$-강한 위상 구름군 $G$의 적합한 $L$-부구름군 $H$에 대해, 왼쪽 여부군 $G/H$는 부분메트라이저블이다.
• 구축된 준거리 $d(x,y) = |N(x) - N(y)|$는 $H$의 원소에 의한 왼쪽 이동에 대해 불변이며, 이는 $G/H$ 위에 잘 정의된 거리함수의 정의를 가능하게 한다.
• $G/H$ 위의 거리함수 $\varrho$는 잘 정의되어 있으며 삼각부등식을 만족하므로 진정한 거리함수이다.
• 결과적으로, 가чёт한 순차적 특성을 가진 모든 $T_0$-강한 위상 구름군은 Dieudonné 완비이다.